Exercice 49

\( \begin{align*}  \int tanh^{-1}(x).dx \end{align*}\)

Connaissances:

  • trigonométrie hyperbolique
  • Intégration par partie
  • primitive de \(u'/u\)

\( \begin{align*} I & = \int tanh^{-1}(x).dx \end{align*}\)

Faisons une IPP:

  D   I
\(+\) \(tanh^{-1}(x)\)   \(1\)
    \(\searrow\)  
\(-\) \(\frac{1}{1-x²}\) \(\rightarrow\) \(x\)

\( \begin{align*} I & = \int tanh^{-1}(x).dx \\
& = x.tanh^{-1}(x)- \int \frac{x}{1-x²}dx \\
& = x.tanh^{-1}(x)- \int -\frac{1}{2} \times \frac{-2x}{1-x²}dx \\ 
& = x.tanh^{-1}(x) + \frac{1}{2} \int \frac{-2x}{1-x²}dx \\
& = x.tanh^{-1}(x) + ln \lvert 1-x² \rvert +C \end{align*}\)

 

\[\boxed{\begin{align*} I  =x.tanh^{-1}(x) + ln \lvert 1-x² \rvert +C()\in \mathbb R \end{align*}}\]