Exercice 48

\( \begin{align*}  \int \sqrt{tanh(x)}dx \end{align*}\)

\( \begin{align*} I & = \int \sqrt{tanh(x)}.dx \\
& u = \sqrt{tanhx} \Rightarrow u²=tanh(x) \\
& \Rightarrow x = tanh^{-1}(u²) \Rightarrow  dx = \frac{2u}{1-u^4}du \\
I & = \int u \frac{2u}{1-(u²)²}du \\ 
& = \int  \frac{2u²}{1-u^4}du \end{align*}\)

On pourrait maintenant passer par une décomposition en éléments simples , mais il existe une autre méthode:

\( \begin{align*} I & = \int  \frac{2u²}{1-u^4}du \\
& = \int  \frac{2u²}{(1-u^2)(1+u²)}du \\
& = \int  \frac{u²+ u²}{(1-u^2)(1+u²)}du \\
& = \int  \frac{u²-1 +  u²+1}{(1-u^2)(1+u²)}du \\
& = \int  \bigg[\frac{-(1-u²)}{(1-u^2)(1+u²)} + \frac{ u²+1}{(1-u^2)(1+u²)} \bigg] du \\
& = \int  \bigg[ - \frac{1}{1+u²} + \frac{1}{1-u^2} \bigg] du \\
&= -tan^{-1}u + tanh^{-1}u + C \\
&= -tan^{-1}(\sqrt{tanhx}) + tanh^{-1}(\sqrt{tanhx}) + C \end{align*}\)

\[\boxed {\begin{align*} I = -tan^{-1}(\sqrt{tanhx}) + tanh^{-1}(\sqrt{tanhx}) + C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]