Exercice 34

\(\begin{align*} \int \frac{lnx}{\sqrt x}\end{align*}\)

Connaissance:

  • primitive de \(\sqrt x\)
  • dérivée de \(lnx\)
  • réflexe: \(x^\alpha \times lnx\) s'intègre par parties
  • intégration par parties

\(\begin{align*}I & = \int \frac{lnx}{\sqrt x}dx \\
& = \int x^{-\frac{1}{2}} \times lnx.dx \end{align*}\)

Naturellement, on dériera \(lnx\), parceque si on intègre \(lnx\), on retrouvera \(lnx\) et le problème reste non résolu.

  D   I
\(+\) \(lnx\)   \(\frac{1}{\sqrt x}\)
    \(\searrow\)  
\(-\) \(\frac{1}{x}\) \(\rightarrow\) \( 2 \sqrt x\)

 

\(\begin{align*}I & = \int x^{-\frac{1}{2}} \times lnx.dx \\
& = 2\sqrt x.ln x - 2 \int \frac{\sqrt x}{x} x dx \\
& = 2\sqrt x.ln x - 2 \int \frac{1}{\sqrt x} x dx \\
& = 2\sqrt x.ln x - 2 \times 2\sqrt x +C \\
\end{align*}\)

\[ \boxed{\begin{align*}I  = 2\sqrt x.ln x - 4\sqrt x +C (\in \mathbb R) \end{align*}}\]