Exercice 31

\(\begin{align*} I &= \int\frac{1}{\sqrt{x-x^\frac{3}{2}}}dx \end{align*}\) 

On voit un \(\sqrt x\) pourtant une substitution trigonométrique ne fonctionera pas.
Commençons par une factoridation ...... 

\(\begin{align*} I &= \int\frac{1}{\sqrt{x-x^\frac{3}{2}}}dx \\
&= \int\frac{1}{\sqrt{x(1-\sqrt x)}}dx \\
&= \int\frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{1- \sqrt x}}dx \\
\end{align*}\) 

On y voit maintenant un peu plus clair pour choisir un changement de variable: \(u=1-\sqrt x\)

\(\begin{align*} & \begin{cases} u = 1 - \sqrt x \\ du = -\frac{1}{2 \sqrt x}dx \end{cases} \Rightarrow 
\begin{cases} u = 1 - \sqrt x  \\ dx = -2 \sqrt x.du  \end{cases} \\ 
I &= \int\frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{1- \sqrt x}}dx \\ 
&= \int\frac{1}{\cancel{\sqrt{x}} \sqrt{u}} \times (-2 \cancel{\sqrt x}.du) \\
&=-2 \int u^{-\frac{1}{2}}du \\
& = -2 \times 2u^{\frac{1}{2}}+C \\
& = -4 \sqrt{1-\sqrt x}+C
\end{align*}\)

\[ \boxed{I = -4 \sqrt{1-\sqrt x}+C (\in \mathbb R) }\]