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Pour tout \(x \in \mathbb R_+^*\), par définition de la fonction exponentielle, on a \(x=e^{lnx}\). Et d'après les propriétés usuelles de la fonction exponentielle, pour tout \(n \in \mathbb Z\), on a :
\(x^n = (e^{lnx})^n = e^{n.lnx}\)
Ce qui nous amène naturellement a la définition suivante:
Définition:
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Pour tout \(x \in \mathbb R_+^*\) et \(a \in \mathbb R\), on définit le réel \(x\) puissance \(a\), noté \(x^a\), par :
\(x^a=e^{alnx}\)
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Pour \(a \in \mathbb R\), \(\phi'a)\) est appelée fonction puissance
\(\begin{align*} \phi(a) \space : \space & \mathbb R_+^* && \to &&\mathbb R_+^* \\
& x && \mapsto && x^a=e^{alnx} \end{align*}\)
On notera en particulier que :
- \(\phi_0 = 1\)
- \(\phi_1\) est l'identité de \(\mathbb R_+^*\)
- \(\phi_n\) avec \(n \in \mathbb N\) = \(x^n\)
Proposition:
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Soient \(a\) et \(b\) éléments de \(\mathbb R\), \(x \gt 0\) et \(y \gt 0\). On a:
| \(1^a = 1\) |
\(x^a.y^a=(x.y)^a\) |
\(ln(x^a) = a.ln(x)\) |
| \(x^0=1\) |
\(x^ax^b=x^{a+b}\) |
\(\big( x^a\big)^b=x^{ab}\) |
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Proposition:
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