Exercie 36

\(\begin{align*} \int log_2 x.dx\end{align*}\)

Connaissances:

  • les fonctions \(log_n\)
  • primitive de \(lnx\)
  • intégration par parties

\(\begin{align*} I & = \int log_2 x.dx \\
& = \int \frac{lnx}{ln2}dx \\
& = \frac{1}{ln2} \int lnx.dx \\
& = \frac{1}{ln2} \int (1 \times lnx)dx \\
\end{align*}\)

Procédons avec une intégration par parties:

  D   I
\(+\) \(lnx\)   \(1\)
    \(\searrow\)  
\(-\) \(1/x\) \(\rightarrow\) \(x\)

 

\(\begin{align*} I & = \frac{1}{ln2} \int (1 \times lnx)dx \\
& = \frac{1}{ln2}(x.lnx-\int dx) \\
& = \frac{1}{ln2}(x.lnx-x)+C
& = xlog_2x-\frac{x}{ln2}+C
\end{align*}\)

\[\boxed{\begin{align*} I  = x.log_2x-\frac{x}{ln2}+C(\in \mathbb R)
\end{align*}}\]