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fonctions circulaires

Les fonctions réciproques arcsin, arcos , et arctan

1 - Rappels sur les fonctions réciproques

    1. Condition d 'existence d'une fonction réciproque
    2. Bijectivité
    3. Continuité
    4. Monotonie
    5. Propriétés des fonctions réciproques

  2. Ensemble de définition \(\mathcal D_f\)
  3. Les Dérivées
  •  
  • Calculs de :
    • \(Arctan(tan\theta)\)
    • \(tan(Arctan\theta)\)
  • Dérivée de \(tan^{-1}\)
  • Tableau de variation
  • Graphe

1 - Rappels sur les fonctions réciproques

a - Condition d'existence d'une fonction réciproque :
Pour qu'une fonction admette une fonction réciproque sur un intervalle, il faut et il suffit qu'elle soit bijective, donc elle doit être à la fois continue et strictement monotone sur l'intervale de définition.

 

b - Bijectivité
Chaque nombre de l'ensemble d'arrivée doit avoir un et un seul antécédent par la fonction.

 

c - Continuité

La courbe de la fonction ne doit pas avoir de coupure ou de "saut".

 

d - Monotonie
La fonction doit toujours monter ou toujours descendre. Si elle change de sens (par exemple si elle descend puis remonte comme la fonction carrée sur \(\mathbb{R}\)), un même résultat peut correspondre à plusieurs départs différents, ce qui empêche de revenir en arrière.

 

e - Propriétés des fonctions réciproques
  • Notation: Soit \(f\) une fonction. Sa réciproque est notée: \(f^{-1}\)
  • Action inverse: si \(f(x) = y \) alors \(f^{-1}(y) = x\)
  • Propriété graphique: les courbes représentatives de \(f\) et de \(f^{-1}\) sont symétriques par rapport à la
    droite d'équation \(x=y\)

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2 - Domaines de définition:  \(\mathcal D_f\)

Il s'agit dans ce chapitre de déterminer les ensembles de départ et d'arrivée qui permettrons d'obtenir des fonctions \(sin\), \(cos\) et \(tan\) bijectives. Ce qui n'est pas le cas si l'ensemble de départ des fonctions \(sin\), \(cos\) et \(tan\) (donc l 'ensemble d'arrivée de la fonction inverse) est \(\mathbb R\).

a - arcsin
 

 

b - arccos
 

 

a - arctan
 

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3 - Les dérivées

a - arcsin
 

 

b - arccos
 

 

a - arctan
 

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tan

  1. Etude de la fonction \(h(x) = tan(x)\)
  2. Tableau de variation et graphe de la fonction

1 - Etude de la fonction tan(x)=

Des fonctions sinus et cosinus on peut déduire certaines propriétés de la fonction tangente. Certaines de ces propriétés ont été établies dans le chapitre Trigonométrie.

Soit le fonction \(\begin{align*} \begin{cases}h: & \mathbb R- \{\pi/2+ k\pi\}&  \to \mathbb R \\ & x & \mapsto tan(x) = \frac{sinx}{cosx} \text {  avec  }cosx \neq 0 \end{cases} \end{align*}\)

  • \(\begin{align*} tan(x+\pi) = \frac{tanx+tan\pi}{1+tanx.tan\pi}= \frac{tanx + 0}{1+tanx\times 0}= tanx \end{align*}\): la fonction tangente est \(\pi\)-périodique
  • \(\begin{align*}tan(-x) = \frac{sin(-x)}{cos(-x)}=\frac{-sin(x)}{cos(x)}=-tan(x) \end{align*}\). La fonction \(h\) est impaire. Elle est donc symétrique par rapport a l'origine.
  • On pourra se limiter à une étude pour \(x \in ]0;\pi/2[\)
  • \(\begin{align*}h(x)=\frac{sinx}{cosx} \end{align*}\) est dérivable comme le quotient de 2 fonctions \(f\) et \(g\) dérivables, est sa dérivée est  \(\begin{align*}h'(x)= 1+ tan²(x) = \frac{1}{cos²x} \end{align*}\)
    • \(h'(x) \geq0\) sur \(]0;\pi/2[\) donc la fonction \(h\) est croissante sur \( ]0;\pi/2[\)
    • \(h(0) = 0\) et
    • \( h'(0)=1+0² = 1\) : la fonction \(h\) a une tangente oblique a l'origine 
    • \(\begin{align*} \lim\limits_{x \to \pi/2}h(x) = \lim\limits_{x \to \pi/2} \frac{sinx}{cosx}= \frac{1}{+/-0 }=+/-\infty \end{align*}\)
    • \(\begin{align*} \lim\limits_{x \to \pi/2}h'(x) = \lim\limits_{x \to \pi/2} 1+tan²x= 1 +/-\infty = +/- \infty  \end{align*}\)
      la fonction \(h\) a une asymptote verticale en \(\frac{\pi}{2} \)

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2 - Tableau de variation et graphe de la fonction

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sin et cos

  1. Rappels
  2. Dérivabilité
  3. Tableau de variation et graphe de g(x)=cos(x)

1 - Rappels

  • Dérivabilité
    • Soient \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\)
    • On dit que \(f\) est dérivable en \(a\) si \(\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}= l\) avec \(l\) . Ou encore, suite au changement de variable \(h=x-a\) : \(\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}= l\).
      \(l\) est un nombre fini, appelé nombre dérivé en \(a\) . On le note \(f'(a)\)
    • Une fonction \(f\) est dérivable sur l'intervalle \(I\), si elle est dérivable en tout point \(a\) de \(I\)
  • Formules d'addition:
    • sin(a+b) = cosa.sinb + sina.cosb
    • cos(a+b) = cosa.cosb - sina.sinb
    • les formules de trigonométrie en générale
  • Continuité : Soient \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\).
    Si \(f\) est dérivable en \(a\) , alors \(f\) est continue en \(a\)
    Si \(f\) est dérivable sur \(I\) , alors \(f\) est continue sur \(I\)   

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2 - Dérivabilité et Continuité de sinus et cosinus

Dérivabilité de f(x) = sin(x)

Soient \(f\): la fonction définie sur \(\mathbb R\) telle que \(f(x)=sin(x)\), et \(a \in \mathbb R\). Trouvons \(f'(a)\)

\(\begin{align*}f'(a) & =\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} 
= \lim\limits_{h \to 0}\frac{sin(a+h)-sin(a)}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0}\frac{sina.cosh + cosa.sinh-sin(a)}{h} 
= \lim\limits_{h \to 0}\frac{sina.\overbrace{(cosh-1)}^{\rightarrow 0} + cosa.sinh}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0}\frac{cosa.sinh}{h} = cosa \times  \underbrace{\lim\limits_{h \to 0}\frac{sinh}{h}}_{\text{à déterminer}}
\end{align*}\)

Déterminons la limite \(\lim\limits_{h \to 0}\frac{sinh}{h}\):

  • \( \mathcal A_1 = \) Aire du triangle \(0M_\theta I\)
    \( \begin{align*} \mathcal A_1 = \frac{OI \times HM_\theta}{2}=\frac{1 \times sin\theta}{2}=\frac{sin\theta}{2} \end{align*}\)
  • \( \mathcal A_2 = \) Aire du secteur angulaire \(0M_\theta I \): la surface d'un cercle est \(\pi \times r²\) pour un secteur d'angle faisant \(2\pi\). On en déduit que la surface d'un secteur angulaire est
    \(\begin{align*} S = \frac{\theta}{2}\times r² \Rightarrow \mathcal A_2= 0M_\theta I = \frac{\theta}{2}\times OI² = \frac{\theta}{2} \end{align*}\)
  • \( \mathcal A_3 = \) Aire du triangle \( \begin{align*} OIJ=\frac{OI \times IJ}{2}= \frac{1 \times tan\theta}{2} = \frac{tan\theta}{2} \end{align*} \)

Alors on a :

\(\begin{align*}  \mathcal A_1  \leq  \mathcal A_2  \leq  \mathcal A_3 & \Rightarrow  \frac{sin\theta}{2}  \leq \frac{\theta}{2}   \leq  \frac{tan\theta}{2} 
 & \Rightarrow sin\theta   \leq  \theta   \leq  tan\theta \\
 & \Rightarrow 1 \leq  \frac{\theta}{sin\theta} \leq  \frac{1}{cos\theta} 
& \Rightarrow  1 \geq  \frac{sin\theta}{\theta}  \geq cos\theta \\
& \Rightarrow   \lim\limits_{x \to 0} 1 \geq    \lim\limits_{x \to 0} \frac{sin\theta}{\theta} \geq  \lim\limits_{x \to 0}  cos\theta
& \Rightarrow  1 \geq    \lim\limits_{x \to 0} \frac{sin\theta}{\theta} \geq  1 \end{align*}\)

Par le théorème des gendarmes , nous avons déterminer que:
\[\lim\limits_{h \to 0}\frac{sinh}{h} \longrightarrow 1\]

Nous avons donc : 

\(\begin{align*}f'(a)=cosa \times \lim\limits_{h \to 0}\frac{sinh}{h}=cosa \times 1 = cosa
\end{align*}\)

\(sinx\) et \( cosx\) sont toutes deux définies sur \(\mathbb R\). Ainsi \(\forall \space a \in \mathbb R, \space f'(a) = cos a\) 
En conséquence: 

\(f:x \mapsto sin x \) est dérivable sur \(\mathbb R\) et sa dérivée est \(f'(x)=cosx, \forall \space x \in \mathbb R\)
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Dérivabilité de g(x) = cos(x)

Soient \(g\): la fonction définie sur \(\mathbb R\) telle que \(g(x)=cos(x)\), et \(a \in \mathbb R\). Trouvons \(g'(a)\)

\(\begin{align*} g'(a) & =\lim\limits_{x \to a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}
= \lim\limits_{h \to 0}\frac{cos(a+h)-cos(a)}{h} \\ 
& = \lim\limits_{h \to 0}\frac{cosa.cosh - sina.sinh-cos(a)}{h} 
= \lim\limits_{h \to 0}\frac{cosa( cosh-1)- sina.sinh}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \bigg( cosa \times \frac{cosh-1}{h} - sina \times \underbrace{ \frac{sinh}{h}}_{\rightarrow 1} \bigg) = cosa \times \lim\limits_{h \to 0} \bigg( \underbrace{\frac{cosh-1}{h}}_{\text{à déterminer}} \bigg) - sina  \end{align*}\) 

Déterminons la limite \(\lim\limits_{h \to 0} \frac{cosh-1}{h}\)

\(\begin{align*} \lim\limits_{h \to 0} \frac{cosh-1}{h} & = \lim\limits_{h \to 0} \frac{cosh-1}{h} \times \frac{cosh+1}{cosh+1} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{cos²h-1}{h(cosh+1)} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \frac{-sin²h}{h(cosh+1)} = \frac{-sinh}{h} \times \frac{sinh}{cosh+1} \\
& =-1 \times \lim\limits_{h \to 0} \frac{\overbrace{sinh}^{\to 0}}{cosh+1} = 0
\end{align*}\)

\[\lim\limits_{h \to 0} \frac{cosh-1}{h}=0\]

Nous avons donc : 

\(\begin{align*}g'(a)=cosa \times \lim\limits_{h \to 0} \bigg( \frac{cosh-1}{h} \bigg)- sina =cosa \times 0 - sina = -sina
\end{align*}\)

\(cosx\) et \( sinx\) sont toutes deux définies sur \(\mathbb R\). Ainsi \(\forall \space a \in \mathbb R, \space g'(a) = - sin a\) 
En conséquence: 

\(g:x \mapsto sin x \) est dérivable sur \(\mathbb R\) et sa dérivée est \(f'(x)=- sinx , \forall \space x \in \mathbb R\)
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Continuité de \(f(x) = sinx\) et \(g(x)=cosx\)

Les fonctions  \(f(x) = sinx\) et \(g(x)=cosx\) sont dérivables sur \(\mathbb R\).

Elles sont donc continues sur \(\mathbb R\) 

(Attention, la réciproque n'est pas vraie !!! )

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Dérivées à l'ordre \(n\)

Comme les fonctions \(f(x) = sinx\) et \(g(x)=cosx\) sont définies et dérivables sur \(\mathbb R\) et que la dérivée de l'une amène à l'autre, chacune d'elle est dérivable \(n\) fois (\(n \space \in \mathbb N\)) et on a: 

\(\forall \space n \in \mathbb N\), et \(\forall \space x \in \mathbb R\)
\[ sin^{(n)}x= sin(x+\frac{n\pi}{2}) \text{   et   }cos^{(n)}x= cos(x+\frac{n\pi}{2})\]

 

Démonstration par récurrence:
Soit \(\mathcal P_n\) la proposition :\(\begin{cases} sin^{(n)}x= sin(x+\frac{n\pi}{2}) \\cos^{(n)}x= cos(x+\frac{n\pi}{2}) \end{cases}\)

  • Initialisation:
    pour \(n=0: \begin{cases} sin^{(0)}x  =sin(x+\frac{0\pi}{2}) = sinx \\
    cos^{(0)}x=  cos(x+\frac{0\pi}{2}) = cos x \end{cases}\)
    La propriété \(\mathcal P_n\) est vraie au rang \(n=0\)

  • Hérédité
    Supposons que \(\mathcal P_n\) soit vraie: \(\begin{cases} sin^{(n)}x  =sin(x+\frac{n\pi}{2})  \\cos^{(n)}x=  cos(x+\frac{n\pi}{2})  \end{cases}\)
    et Calculons \(sin^{(n+1)}x\) et \(cos^{(n+1)}x\)

    \(\begin{cases} sin^{(n+1)}x = (sin^{(n)}x)' =[sin(x+\frac{n\pi}{2}) ]' = cos(x+\frac{n\pi}{2}) \\
    cos^{(n+1)}x=  (cos^{(n)}x)' =[cos(x+\frac{n\pi}{2}) ]' = -sin(x+\frac{n\pi}{2}) \end{cases}\)   

    et on sait que \(\begin{cases}cos(a) = sin(a+\frac{\pi}{2})  \\ sin(a)   = - cos(a+\frac{\pi}{2})  \end{cases}\) alors:

    \(\begin{cases} sin^{(n+1)}x = cos(x+\frac{n\pi}{2})  =sin\big((x+\frac{n\pi}{2})+\frac{\pi}{2}\big) = sin(x+\frac{(n+1)\pi}{2}) \\
    cos^{(n+1)}x= -sin(x+\frac{n\pi}{2})=  cos\big(x+\frac{n\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\big) =cos(x+\frac{(n+1)\pi}{2}) \end{cases}\)
  • Conclusion:
    \(\mathcal P_n\) est vrai au rang \(n=0\), si elle est vraie au rang \(n\), alors elle est vraie au rang \(n+1\). Donc \(\mathcal P_n\) est vraie \(\forall \space n \in \mathbb N\) 

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3 - Etude et représentations graphique

g(x) = cos(x)

Soit le fonction \(\begin{cases}g: & \mathbb R &  \to [-1;1] \\ & x & \mapsto cos(x) \end{cases}\)

  • \(g(x+2k\pi)=g(x)\): la fonction \(g\) est \(2\pi\)-périodoque. Il suffit de l'étudier sur \([-\pi;\pi]\)
  • \(g(-x)=g(x)\): la fonction \(g\) est paire,  la courbe de \(g\) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées \((O, \vec j)\). Il nous suffit de l'étudier sur \([0;\pi]\), la partie de \([-\pi,0]\) sera déduite par symétrie par rapport à \((O, \vec j)\)
  • \(g(\pi-x)= -g(x)\): Il existe une symétrie centrale de centre \((\pi/2; 0 )\). Il nous suffit de faire une étude sur \([0;\frac{\pi}{2}]\) et déduire la partie de \([\frac{\pi}{2} , \pi]\) par symétrie.
  • \(g(x) =cosx\) est dérivable sur \([0, \frac{\pi}{2}]\) et \(g'(x) = -sinx\) 
    • \(g'(x) \leq 0 \) sur \([0,\frac{\pi}{2}]\): la fonction est décroissante sur \([0,\frac{\pi}{2}]\)
    • \(g(0) = 1 \) et \(g'(0) = 0\) : une tangente horizontale en \((0;1)\)
    • \(g(\frac{\pi}{2})=0\) et \(g'(\frac{\pi}{2})= 1\) : une tangente oblique en \(( \frac{\pi}{2};0)\)
Tableau de variations:

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f(x) = sinx

Soit le fonction \(\begin{cases}f: & \mathbb R &  \to [-1;1] \\ & x & \mapsto sin(x) \end{cases}\)

  • \(f(x+2k\pi)=f(x)\): la fonction est \(2\pi\)-périodoque. Il suffit de l'étudier sur \([-\pi;\pi]\)
  • \(f(-x)=-f(x)\): la fonction \(f\) est impaire,  la courbe de \(f\) est symétrique par rapport au point \(O\). Il nous suffit de l'étudier uniquement sur \([0;\pi]\), la partie de \([-\pi,0]\) sera déduite par symétrie centrale par rapport à \(O\).
  • \(f(\pi-x)= f(\pi)\): Il existe une symétrie axiale d'axe \(x=\frac{\pi}{2}\). Il nous suffit de faire une étude sur \([0;\frac{\pi}{2}]\), la partie de \([\frac{\pi}{2},\pi]\) sera déduite par symétrie par rapport à \(x=\frac{\pi}{2}\).
  • \(f(x) =sinx\) est dérivable sur \([0, \frac{\pi}{2}]\) et \(f'(x) = cosx\)
    • \(f'(x) \geq 0 \) sur \([0,\frac{\pi}{2}]\): la fonction est croissante sur \([0,\frac{\pi}{2}]\)
    • \(f(0) = 0 \) et \(f'(0) = 1\) : une tangente oblique en \((0;0)\)
    • \(g(\frac{\pi}{2})=1\) et \(g'(\frac{\pi}{2})= 0\) : une tangente horizontale en \(( \frac{\pi}{2};1)\)
Tableau de variations:

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Remarque:

On sait que: \( \forall \space x \in \mathbb R, \space cos(x+\frac{\pi}{2}) = sinx\). donc on aurait pu simplement faire une translation du graphe de cosinus de \(\frac{\pi}{2}\) 

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Préambule

La trigonométrie a déjà été abordée dans le chapitre avec une approche géométrique. Cette approche nous a permis d'établir un certain nombre de définitions et de relations entre \(sin\), \(cos\) et \(tan\).

Nous abordons en maintenant \(sin\), \(cos\) et \(tan\) sous la forme de fonctions. Ce qui nous permettra aussi d'aborder leurs dérivée, leurs représentations graphiques, leurs réciproques  etc etc etc

  1. Le cercle trigonométrique
  2. Propriétés
  3. Rappels
    • Identité trigonométrique
    • Quelques valeurs particulières
    • Formules d'addition
    • Parité

1 - Le cercle trigonométrique

On se place dans le plan, rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec{i},\vec{i})\).
Le cercle trigonométrique \((\Gamma)\) est le cercle centré sur \(O\) et de rayon \(1\). Il a pour équation : \(x²+y²=1\)

Etant donné \(\theta \in \mathbb R\), notons \(M_{\theta}\) le point du cercle \((\Gamma)\) vérifiant: \[(\vec{i},\overrightarrow{OM}) = \theta\] Alors, nous avons:

  • le cosinus de \(\theta\), noté \(cos\theta\), est l'abscisse du point   \(M_{\theta}\)
  • le sinus de \(\theta\), noté \(sin\theta\), est l'ordonnée du point   \(M_{\theta}\)

En conséquence:

  • \(\forall \space \theta \in \mathbb R, M_{\theta}\) étant à une distance de \(1\) du centre du cercle , on a :
    \[cos²\theta + sin²\theta = 1\]
  • Réciproquement: \(\forall \space (x,y) \in \mathbb R²\) tels que \(x²+y²= 1\), le point de coordonnées \((x,y)\) appartient au cercle trigonométrique \((\Gamma)\), et il existe un réel \({\theta}\) tel que : \[\begin{cases} x= cos\theta \\ y = sin\theta \end{cases}\]
  • Ce réel \(\theta\) est unique si on impose: \( \theta \in [0;2\pi[ \) ou \( \theta \in  ]-\pi; \pi] \)

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2 - Propriétés

Périodicité:

\(\forall \space \theta \in \mathbb R\), les points \(M_{\theta}\) et \(M_{\theta+2k\pi}\) sont confondus. Et on a : 
\[ cos(\theta+2k\pi) = cos\theta \text{   et   } sin(\theta+2k\pi)= sin\theta\]

On notera que si \((\Gamma)\) est le cercle trigonométrique , les 2 applications suivantes sont bijectives: \[ \begin{cases}  [0;2\pi[ & \to & (\Gamma) \\ \theta  & \longmapsto & M_{\theta}  \end{cases} \text{   et   } \begin{cases}  [-\pi;\pi[ & \to & (\Gamma) \\ \theta  & \longmapsto & M_{\theta} \end{cases}\]

 

En conséquence:

\(\forall \space (\theta_1, \theta_2) \in \mathbb R²\) , on a :\[ \begin{cases} cos\theta_1= cos \theta_2 \\ sin \theta_1=  sin \theta_2 \end{cases} \Longleftrightarrow (\exists \space k \in \mathbb Z, \theta_1= \theta_2+2k\pi) \]

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Comparaison \(| sinx | \leq | x | \)

Par définition:

  • \((HM_\theta)=sin\theta\)

  • \(\theta\) est la longueur de l'arc de cercle \((IM_\theta)\)

  • Dans le triangle \(M_\theta HI\), on a:
    \(M_\theta H \leq M_\theta I \Rightarrow sin\theta \leq M_\theta I\)

  • le segment \(M_\theta I\) est inférieur a l'arc de cercle \(M_\theta I\)
    \(M_\theta I \leq \theta\)

En définitive , on a \(sin\theta \leq M_\theta I \leq \theta\)
C 'est d'autant plus vrai avec des valeurs absolues.

\[\forall \space x \in \mathbb R \text{, on a: } |sinx| \leq|x|\]

 

 

 

3 - Rappels

Identité trigonométrique
\[\forall M_\theta (x,y) \in (\Gamma) , \space cos²x + sin²x = 1\]

 

Valeurs particulières
\(cos0=1\) \(sin0 = 0\) \(cos\frac{\pi}{2} = 0\) \(sin \frac{\pi}{2} =1\)

 

Formules d'addition

\(\forall (t,t') \in \mathbb R²\) on a :
\[cos(t+t') = cost.cost'-sint.sint' \\ sin(t+t') = sint.cost'-cost.sint'\]

 

Parité:

\(\forall x \in \mathbb R \) on a :

\[ \begin{align*} cos (-x) = x & \text{ : on dit que la fonction cosinus est paire} \\ sin(-x) = -x  & \text{ : on dit que la fonction cosinus est impaire}  \end{align*}\]

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