Technique d'integration

\(\begin{align*} I = \int f\big[ g(x) \big] \times g'(x)dx \end{align*}\)

Méthode très importantes

Rappel sur la dérivation de \((f \circ g)(x) \) ou \( f(\big[ g(x)\big])\)

\(\begin{align*} \bigg(f \circ g)(x) \bigg)'= \bigg(f(\big[ g(x)\big]) \bigg)' = f' \big[ g(x)\big] \times g'(x) \end{align*}\)

Par exemple :\(\big[tan(x^4)\big]' = \underbrace{4x^3}_{g'} \times \underbrace{sec²(x^4)}_{f'(g)}\)

\([tan ]' = sec²\)
\([x^4]' = 4x^3\)
on dérive la fonction et on garde l'opérande
on multiplie par la dérivée de l'opérande

Pour calculer \(\begin{align*}I = \int_a^b f( \underbrace{\big[ g(x)\big]}) \times \underbrace{g'(x)} dx \end{align*}\) alors il faut remarquer que:

l'intégrande comprend l'opérande de la fonction \(f\) - c 'est à dire \(g(x)\)
l'intégrande contient aussi la dérivée de \(g \) - c 'est à dire \(g'\)

Et dans ce cas, le calcul par changement de variable est la voie.

Posons:

\(\begin{align*} \begin{cases} u =g(x) \\ du = g'(x)dx \\ dx= \frac{du}{g'(x)} \end{cases} \end{align*}\) et aux bornes \(\begin{align*} \begin{cases} u \xrightarrow{x \rightarrow a} c \\ \\ u \xrightarrow{x \rightarrow b} d \end{cases} \end{align*}\)

et en conséquence: \(\begin{align*} I = \int_{x=a}^{x=b} f( \underbrace{\big[ g(x)\big]}_{u}) \times \underbrace{g'(x) dx}_{du} \\ & = \int_{u=c}^{u=d} f(u) \times du \\ = \int_{u=u(a)}^{u=u(b)} f(u) \times du = F(u) + C = F \bigg[ g(x) \bigg] + C \end{align*}\)

\[ \boxed{ \begin{align*} I = \int_a^b f( \underbrace{\big[ g(x)\big]}) \times & \underbrace{g'(x)} dx \\
\begin{cases} u =g(x) \\ du = g'(x)dx \\ dx= \frac{du}{g'(x)} \end{cases} \space \space \space & \space \space \space
\begin{cases} u \xrightarrow{x \rightarrow a} c \\ \\ u \xrightarrow{x \rightarrow b} d \end{cases} \\
I = \int_{u=u(a)}^{u=u(b)} f(u) \times du = & F(u) + C = F \bigg[ g(x) \bigg] + C \end{align*} }\]

On peut aussi remarquer dans notre exemple que :
\(\begin{align*} & \int 4x^3sec²(x^4)dx && = \int g'(x) \times f'(g(x)) .dx \\ & && \text{ avec } f' = tan \text{ et } g=4x^3 \\ & && = f(g(x) = tan(x^4)+C \end{align*}\)

Le changement de variable nous aidera à voir un peu toutes ces "simplifications." Avec un peu d 'entrainement et d'habitude, certains changement de variable vous semblerons évidents et vous pourrez même les faire de tête!!

Exemple : \(\begin{align*} I = \int x.(x²+1)^5 dx \end{align*}\)

On remarque que \(x\), polynôme du 1er degré, est quasi une dérivée de \((x²+1)\) polynôme du 2nd degré. Pour être exact, \(x\) est la moitié de la dérivée de \(x²+1\) et nous avons une forme : \(\begin{align*} I = \int\frac {1}{2} g'(x) f[g(x)] dx \end{align*}\) avec \(g(x) = x²+1\)

Changement de variable intéressant.
Posons:

\( u =(x²+1)\) et \(\begin{align*}du = 2x.dx \Rightarrow x.dx= \frac{du}{2} \end{align*}\)

Remplacer les valeurs dans l'intégrale initiale:

\(\begin{align*} I = \int (\underbrace{x²+1}_{u})^5 \underbrace{x.dx}_{du/2} \\
= \int u^5 \frac{du}{2} \end{align*}\)

Appliquer les règles de la combinaison linéaire, des puissances, et ajouter une constante d'intégration:
\(\begin{align*} I & = \frac{1}{2} \times \frac{u^6}{6} +C \\ & = \frac{1}{12} u^6 +C \end{align*}\)

Remplacer \(u\) par sa valeur \(x²+1\) pour revenir à une primitive dépendant de \(x\), comme dans le calcul demandé.

\[\begin{align*} I = \frac{1}{12} \times (x²+1)^6 +C \end{align*}\]

Si nous avions des bornes à l 'intégrale, le résultat recherché est un nombre, par exemple :
\(\begin{align*} I = \int_0^1 (x²+1)^5 x.dx \end{align*}\),
alors le changement de variable reste le même mais il faut "gérer" les bornes:

\( u \xrightarrow{x=0}1\) et \( u \xrightarrow{x=1}2\), et

\(\begin{align*} I & = \int_{x=0}^{x=1} (x²+1)^5 x.dx \\ & = \int_{u=1}^{u=2} u^5 \frac{du}{2} \\ & = \frac{1}{12} \big[ u^6 \big]_1^2 = \frac{1}{12}(2^6-1^6) \\& = \frac{63}{12} \end{align*}\)

Il n'y a plus à revenir avec un résultat en \(x\) puisque le résultat recherché est un nombre.

\(\begin{align*} I = \int f(x)dx = \int \bigg[\lambda f(x) + \mu g(x)\bigg]dx \end{align*}\)

Rappel sur la dérivation de \(\lambda f(x) + \mu g(x)\)

\(\begin{align*} \frac{d}{dx}(\lambda f(x) + \mu g(x)) & = \frac{d}{dx}\lambda f(x) + \frac{d}{dx}\mu g(x) \\
& =\lambda \frac{d}{dx} f(x) + \mu\frac{d}{dx} g(x)\end{align*}\)

Cette même règle s'applique concernant les intégrales (primitives).

\[ \boxed{ \begin{align*} I =\int \bigg[\lambda f(x) + \mu g(x)\bigg]dx = \lambda \int f(x) dx+ \mu \int g(x) dx \end{align*} }\]

Exemple 1: \(\begin{align*} I = \int \lambda f(x)dx \end{align*}\)

Exemple 2: \(\begin{align*} I = \int \big[\lambda f(x) + \mu g(x) \big]dx \end{align*}\)

\(\begin{align*} I = \int 5x²dx \end{align*}\)

\(\begin{align*} I = 5 \int x²dx \end{align*}\)

Appliquer la règle des puissances et ajouter une constante d'intégration

\(\begin{align*} I = \int (x^3-3x²)dx \end{align*}\)

\(\begin{align*} I = \int x^3dx -3 \int x²dx \end{align*}\)

Appliquer la règle des puissances et ajouter les constantes d'intégration:

\(\begin{align*} I =\int f(x)dx =\int x^n dx \end{align*}\)

Rappel sur la dérivation de \(x^n\):
\(\begin{align*} \frac{d}{dt}(x^n) = ??? \end{align*}\):

on multiplie par l'exposant (on arrive a \(n.x\))
et on diminue l'exposant de \(1\) (on arrive a \(n.x^{n-1}\))
\( \Rightarrow \begin{align*} \frac{d}{dt}(x^n) = nx^{n-1} \end{align*}\):

Pour trouver une primitive, on cherche \(F(x) = \int f(x)dx\) telle que \(F'(x) = f(x)\). Alors faisons le chemin inverse:

On augmente l'exposant de \(1\) pour arriver à \(x^{n+1}\). Mais si on dérive \(x^{n+1}\), on arrive à \((n+1)x^{n}\). Le facteur \((n+1)\) est de trop.
Il convient alors de diviser le résultat trouvé ci dessus par \((n+1)\). Ainsi
\( \begin{align*} \Rightarrow \int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \end{align*}\) et maintenant si on dérive \(\begin{align*} \frac{x^{n+1}}{n+1}\end{align*}\) on arrive bien a \(x^n\)
Et bien sûr, on n'oublie pas d'ajouter la constante pour avoir une primitive particulière
\( \begin{align*} \Rightarrow \int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} +C, \space C \in \mathbb R \end{align*}\)

On remarque que ce résultat n'est pas valable pour \(n=-1\) , donc pour \(f(x) = \frac{1}{x}\)

\[\boxed{\begin{align*} \forall \space n \ in \mathbb R \text{ et } n \neq -1, \\ I = \int x^n dx & = \frac{x^{n+1}}{n+1} +C, \space C \in \mathbb R \end{align*}}\]

Pour \(n=-1\): \(\begin{align*} \int x^{-1}dx = \int \frac{1}{x}dx = \ln \lvert x \rvert +C \end{align*}\)
Ce cas sera vu de façon plus large dans le chapitre "Exponentielle et logarithme"

Méthode :

on rappelle que \(1/x^n\) peut s'écrire \(x^{-n}\)
augmenter l'exposant de \(1\)
diviser par le nouvel exposant (il doit être \(\neq\) 0)

Exemple 1:	Exemple 2:
\(\begin{align} I =\int x^4 dx \end{align}\) Je prends mon \(x\) j'ajoute \(1\) à l'exposant: \(x^{4+1} = x^5\) je divise par le nouvel exposant : \(\frac{x^5}{5}\) je rajoute la constante d'intégration \[I = \frac{x^5}{5} + C\]	\(\begin{align} I =\int \frac{1}{x²} dx \end{align}\) \(\begin{align} I =\int \frac{1}{x²} dx = \int x^{-2}dx \end{align}\) Je prends mon \(x\) j'ajoute \(1\) à l'exposant: \(x^{-2+1}=x^{-1}\) je divise par le nouvel exposant: \(\frac{x^{-1}}{-1}\) je rajoute la constante d'intégration \[I = -\frac{1}{x} + C\]
Exemple 3:	Exemple 4:
\(\begin{align} I =\int \sqrt x ( x+4) dx \end{align}\) \(\begin{align} I & =\int x^{1/2} ( x+4) dx \\ & = \int x^{3/2}dx + \int 4x^{1/2}dx \\ & = \int x^{3/2}dx +4 \int x^{1/2}dx \end{align}\) J'ajoute \(1\) aux exposants \(\begin{align} I & =\int x^{3/2+1}dx +4 \int x^{1/2+1}dx \end{align}\) Je divise par le nouvel exposant: \(\begin{align} I & =\int \frac{x^{5/2}}{5/2}dx +4 \int \frac{x^{3/2}}{3/2}dx \end{align}\) J'ajoute les constantes d'intégration: \(\begin{align} I & =\frac{2}{5} x^{5/2} + C_1 +4 \times \frac{2}{3}x^{3/2} + C_2\end{align}\) Je simplifie: \[\begin{align} I & =\frac{2}{5} x^{5/2} + \frac{8}{3}x^{3/2} + C \\ & =\frac{2}{5} \sqrt{x^5} + \frac{8}{3} \sqrt{x^3}+C \end{align}\]	\(\begin{align} I =\int \frac{1+x^6}{x^2} dx \end{align}\) \(\begin{align} I & =\int \frac{1+x^6}{x^2} dx \\ & = \int \frac{1}{x^2} dx+ \int \frac{x^6}{x^2}dx \\ & = \int x^{-2}dx + \int x^4dx\end{align}\) J'ajoute \(1\) aux exposants: \(\begin{align} I & = \int x^{-2+1}dx + \int x^{4+1}dx\end{align}\) Je divise par le nouvel exposant: \(\begin{align} I & = \int \frac{x^{-1}}{-1}dx + \int \frac{x^{5}}5dx \end{align}\) J'ajoute et je rassemble les constantes d'intégration en une seule: \[\begin{align} I & = \frac{1}{x} + \frac{x^{5}}5 + C \end{align}\]

Changement de variable

Les combinaisons linéaires

Règle des puissances