\(\begin{align*}\int \frac{e^x.\sqrt{e^x-1}}{e^x+3}dx \end{align*}\)

\(\begin{align*}I = \int \frac{e^x.\sqrt{e^x-1}}{e^x+3}dx \end{align*}\)

Nous n'avons guère le choix.... Procédons par un changement de variable:

• \(u=\sqrt{e^x-1}\)
• \(du = \frac{1}{2\sqrt{e^x-1}} \times e^x.dx \Rightarrow dx=\frac{2.\sqrt{e^x-1}.du}{e^x}= \frac{2.u.du}{e^x}\)

Procédons et nous verrons bien ou cela nous mène:

\(\begin{align*} \\
I & = \int \frac{e^x.\sqrt{e^x-1}}{e^x+3}dx \\
& = \int \frac{\cancel{e^x}.u }{e^x+3} \times \frac{ 2.u.du}{\cancel{e^x}}
\end{align*}\)

Il faut maintenant exprimer \(e^x+3\) en fonction de \(u\):

\(u=\sqrt{e^x-1} \Rightarrow u²+1=e^x \Rightarrow e^x+3=u²+4\)

\(\begin{align*} \\
I & = \int \frac{u }{e^x+3} \times  2.u.du \\
& = \int \frac{2u²}{u²+4}du = 2 \int \frac{u²}{u²+4}du && \text{astuce du }-1 + 1  \\
& = 2 \int \frac{(u²+4)-4}{u²+4}du = 2 \int du + 2 \int \frac{-4}{u²+4}du && \text{on va chercher de l'arctan} \\
& = 2 \int du - 8 \int \frac{1}{u²+2²}du \\
& = 2u-8\times \frac{1}{2}arctan\frac{u}{2} \text{avec }u=\sqrt{e^x-1}
\end{align*}\)

\[\boxed{I= 2\sqrt{e^x-1}-4\times arctan\frac{\sqrt{e^x-1}}{2}+ C(\in \mathbb R)}\]

\(\begin{align*}   \int\frac{1}{\sqrt{e^x}}dx\end{align*}\)

\(\begin{align*} I & = \int\frac{1}{\sqrt{e^x}}dx \\
& = \int e^{\frac{-x}{2}}dx \\
& = -2e^{\frac{-x}{2}} \\
& = -2 \frac{1}{\sqrt{e^x}}
\end{align*}\)

\[\boxed{I = -2 \frac{1}{\sqrt{e^x}}+C(\in \mathbb R)}\]

\(\begin{align*}\int \frac{cosx}{sin²x-5sinx-6}dx \end{align*}\)

On remarque immédiatement que :

• au numérateur , il y a du \(cosx\), dérivée de \(sinx\)
• au dénominateur , il y a un polynôme en \(sinx\) du 2ème degré

Il semble évident de passer par un changement de variable \(u =sinx\) et \(du =cosx.dx\), qui nous mènera à une fraction rationnelle, que l on résoudra avec une décomposition en éléments simples.

\(\begin{align*} 
I & =\int \frac{cosx}{sin²x-5sinx-6}dx \\
& = \int \frac{1}{u²-5u-6}du && \text{polynome du 2nd degre ayant pour racines }-1 \text{ et } 6 \\
& = \int \frac{1}{(u+1)(u-6)}du \end{align*}\)

Procédons maintenant à une décomposition en éléments simples:

\(\begin{align*} \frac{1}{(u+1)(u-6)} = \frac{A}{u+1}+  \frac{B}{u-6} \end{align*}\)
\(\begin{align*} \begin{cases}
&  \times (u+1) \text{  et } u=-1 \Rightarrow \frac{1}{-7}= A & \Rightarrow \boxed{A=-\frac{1}{7}} \\
& \times (u-6) \text{  et } u=6 \Rightarrow \frac{1}{7}= B & \Rightarrow \boxed{B=\frac{1}{7}} \\
\end{cases}
\end{align*}\)

\(\begin{align*}
I & =  \int -\frac{1}{7} \frac{1}{u+1}du + \int \frac{1}{7} \frac{1}{u-6}du \\
& = \frac{1}{7}ln \lvert u-6 \rvert - \frac{1}{7}ln \lvert u+1\rvert +C \\
& = \frac{1}{7}ln \lvert \frac{u-6}{u+1}\rvert+C
\end{align*}\)

\[\boxed{\frac{1}{7}ln \lvert \frac{sinx-6}{sinx+1}\rvert+C(\in \mathbb R)}\]

\(\begin{align*}  \int(x+e^x)²dx \end{align*}\)

\(\begin{align*} 
I & = \int(x+e^x)²dx  & \text{développons}\\ 
& = \int(x²+2xe^x+e^{2x})dx \\
& = \int x².dx+\int2.x.e^x.dx+\int e^{2x}dx \\
& = I_1 + I_2 + I_3\end{align*}\)

On sait calculer:

• l 'intégrale d'un polynôme \(\begin{align*} I_1 = \int x²dx =  \frac{1}{3}x^3 + C_1\end{align*}\)
• l'intégrale d'une exponentielle \(\begin{align*} I_3 = \int e^{2x}dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C_3\end{align*}\)
• et pour finir: \(\begin{align*} I_2 = \int 2.x.e^xdx \end{align*}\) est formé de 2 fonctions simplement primitivables ou dérivables
  • \(\Rightarrow\) par IPP  \(I_2 =  2xe^x  - 2e^x +C_2\)

\[\boxed{I=\frac{1}{3}x^3+2xe^x  - 2e^x+\frac{1}{2}e^{2x}+C(\in \mathbb R)}\]

Remarque: on pourrait encore factoriser une partie par \(e^x\)