\(\begin{align*}\int\frac{1}{(x²+4)²}dx \end{align*}\)

\(\begin{align*}I & = \int\frac{1}{(x²+4)²}dx \\
& =  \int\frac{1}{(x²+2²)²}dx \\\end{align*}\)

Nous avons en bas une forme en \(u²+a²\). ceci nous indique d aller vers un changement de variable trigonométrique du style \(u=tan \theta\). En posant même \(u=2tan \theta\) nous pourrons factoriser par \(2\) et retrouver du \(1+tan² \theta\) que nous saurons gérer.

\(\begin{align*} & \begin{cases} x=2tan \theta \\ dx = 2(1+tan² \theta) d \theta\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \theta=tan^{-1}(x/2)  \\ dx = 2(sec² \theta) d \theta\end{cases} \\ 
I & = \int\frac{1}{(x²+4)²}dx \\
& = \int\frac{1}{(4tan² \theta+4)²}2(sec² \theta) d \theta \\
& =  \int\frac{1}{16(tan² \theta+1)²}2(sec² \theta) d \theta \\
& =  \int\frac{1}{8(sec² \theta)²}(sec² \theta) d \theta \\
& =  \int\frac{1}{8(sec² \theta)} d \theta \\
& = \frac{1}{8} \int cos² \theta d\theta \\
\end{align*}\)

Il faut maintenant diminuer la puissance de \(cos \theta\) puis primitiver:

\(\begin{align*}I & =\frac{1}{8} \int cos² \theta d\theta \\
&  = \frac{1}{8} \int \frac{1}{2}(1+cos 2 \theta )d \theta \\
&  = \frac{1}{16} [ \theta + 1/2 sin 2 \theta] +C \\
& = \frac{1}{16} [ \theta + \cancel{1/2} \times \cancel{2} sin \theta . cos \theta] +C
\end{align*}\)

Comme nous avons \(\theta\), \(sin \theta\), et \(cos \theta\), il est plus facile de dessiner un triangle rectangle pour retrouver ces valeurs en fonction de \(x\)

\(\begin{align*} &  \theta=tan^{-1}(x/2) \Rightarrow \begin{cases} \text{Hypoténuse } = \sqrt{x²+2²} \\ \\ sin \theta = \frac{x}{\sqrt{x²+2²}} \\ cos \theta = \frac{2}{\sqrt{x²+2²}} \end{cases}   \end{align*}\)

Il suffit maintenant de remplacer \(\theta\), \(sin \theta\), et \(cos \theta\) par leur valeur pour trouver \(I\)

\(\begin{align*}I & = \frac{1}{16} \bigg[ tan^{-1}(x/2) + \frac{x}{\sqrt{x²+2²}}.\frac{2}{\sqrt{x²+2²}} \bigg] +C \\
& = \frac{1}{16} \bigg[ tan^{-1}(x/2) + \frac{2x}{\sqrt{x²+2²}} \bigg] +C
\end{align*}\)

\[ \boxed{ \begin{align*}I = \frac{1}{16} \bigg[ tan^{-1}(x/2) + \frac{2x}{\sqrt{x²+2²}} \bigg] +C(\in \mathbb R)
\end{align*} }\]

\(\begin{align*}\int x² \sqrt[3]{1+x^3}dx \end{align*}\)

\(\begin{align*}I & = \int x² \sqrt[3]{1+x^3}dx \end{align*}\)

On remarque que \((1+x^3)'=3x²\) et on a alors le produit d'une dérivée et d'une fonction composée. Cela nous oriente vers un changement de variable:

\(\begin{align*} & \begin{cases} u=1+x^3 \\ du=3x².dx\end{cases} \\
I & = \frac{1}{3}\int 3x²dx \sqrt[3]{1+x^3} \\
& = \frac{1}{3}\int du \sqrt[3]{u} \\
&= \frac{1}{3}\int u^{\frac{1}{3}}du \\
& = \frac{1}{\cancel{3}} \times \frac{\cancel{3}}{4}u^{4/3}+C \\
& = \frac{1}{4} \sqrt[3]{(1+x^3)^4} + C \\
& = \frac{1}{4} \sqrt[3]{(1+x^3)^3(1+x^3)} + C \\
& = \frac{1}{4} (1+x^3) \sqrt[3]{1+x^3} + C \\
 \end{align*}\)

\[ \boxed{ \begin{align*} I & = \frac{1}{4} (1+x^3) \sqrt[3]{1+x^3} + C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]

\(\begin{align*}\int x^3sin(2x)dx \end{align*}\)

\(\begin{align*}I & = \int x^3sin(2x)dx \end{align*}\)

Nous avons ici le produit de 2 fonctions facilement dérivables ou primitivables, ce qui nous conduit à essayer une intégration par parties. Etant donné le degré du polynome, il nous faudra plusieurs intégrations successives:

\(\begin{align*}I & = \int x^3sin(2x)dx \\
& = -\frac{1}{2}x^3cos(2x) +\frac{1}{4}3x²sin(2x)+\frac{1}{8}.6.x.cos(2x)-\frac{1}{16}.6.sin(2x) +C \\
& = -\frac{1}{2}x^3cos(2x)+\frac{3}{4}x²sin(2x)+\frac{3}{4}x.cos(2x)-\frac{3}{8}sin(2x) +C
\end{align*}\)

\[\boxed{\begin{align*}I & = -\frac{1}{2}x^3cos(2x)+\frac{3}{4}x²sin(2x)+\frac{3}{4}x.cos(2x)-\frac{3}{8}sin(2x) +C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]

\(\begin{align*} \int \frac{1}{e^x+e^{-x}}dx \end{align*}\)

\(\begin{align*} I & = \int \frac{1}{e^x+e^{-x}}dx \\
& =\int \frac{e^x}{(e^x)²+1}dx \end{align*}\)

Posons le changement de variable \(u =e^x\) 

\(\begin{align*} & \begin{cases} u = e^x \\ du = e^x dx \end{cases} \\
I & =\int \frac{e^x}{(e^x)²+1}dx  \\
& =  \int \frac{du}{u²+1}dx \\
& = tan^{-1}u+C \\
& = tan^{-1}(e^x)+C
\end{align*}\)

\[ \boxed{\begin{align*} I = tan^{-1}(e^x)+C (\in \mathbb R)\end{align*}}\]