Exercice 70
\(\begin{align*} \int_{\frac{1}{e}}^e \frac{\sqrt{1-(lnx)²}}{x}dx \end{align*}\) |
Connaissances:
- Changement de variable
\(\begin{align*} I & =\int_{\frac{1}{e}}^e \frac{\sqrt{1-(lnx)²}}{x}dx\\ \end{align*}\)
Procédons au changement de variable:
\(\begin{align*} \begin{cases} u = lnx \Rightarrow du = \frac{dx}{x} \Rightarrow dx= x.du \\ x=\frac{1}{e} \Rightarrow u =ln(\frac{1}{e})=-1 \\ x=e \Rightarrow u = 1 \end{cases} \end{align*}\)
\(\begin{align*} I & =\int_{x= \frac{1}{e}}^{x=e} \frac{\sqrt{1-(lnx)²}}{x}dx\\
& = \int_{u=1}^{u=-1} \frac{\sqrt{1-u²}}{x}x.du\\
& = \int_{u=1}^{u=-1} \sqrt{1-u²}.du\\ \end{align*}\)
Ceci est l'aire d'un demi-cercle de \(-1\) à \(1\) (dessin??), donc un demicercle de rayon 1.
Le rayon d'un cercle est \(\pi \times r²\) avec \(r=1\) et diviser par \(2\) pour le demi-cercle, et donc \(I = \frac{\pi}{2}\)
\[\boxed {\begin{align*} I = \frac{\pi}{2} \end{align*}}\]
Exercice 69
\(\begin{align*} \int \frac{1}{1+tanx}.dx \end{align*}\) |
Connaissances:
- Exercice 55
\(\begin{align*} I & = \int \frac{1}{1+tanx}.dx \\ \end{align*}\)
On sait que : \(\begin{align*} \int \frac{1-tanx}{1+tanx}.dx= ln \lvert cosx+sinx\rvert +C \\ \end{align*}\) (Exercice 55)
Faisons apparaitre ce \(\frac{1-tanx}{1+tanx}\) ou quelque chose y ressemblant:
\(\begin{align*} I & = \int \frac{1}{1+tanx}.dx \\
& = \int \frac{1}{2}\frac{\overbrace{1-tanx+1+tanx}^{2}}{1+tanx}dx \\
& = \frac{1}{2} \int\frac{1-tanx}{1+tanx}dx + \frac{1}{2} \int \frac{1+tanx}{1+tanx}dx \\
& = \frac{1}{2}ln \lvert cosx+sinx\rvert+ \frac{1}{2}x +C \end{align*}\)
\[\boxed {\begin{align*} I = \frac{1}{2}ln \lvert cosx+sinx\rvert+ \frac{1}{2}x+C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]
Exercice 68
\(\begin{align*} \int \sqrt{1+cos(2x)}.dx \end{align*}\) |
Connaissances:
- Trigonométrie
- Primitive de \(cosx\)
\(\begin{align*} I & = \int \sqrt{1+cos(2x)}.dx \\
& = \int \sqrt{1+(2cos²x-1)}.dx \\
& = \int \sqrt{2cos²x}.dx \\
& = \sqrt{2} \int cosx.dx \\
& = \sqrt{2} \times sinx+C \\
\end{align*}\)
\[\boxed {\begin{align*} I = \sqrt{2} \times sinx+C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]
Exercice 67
\(\begin{align*} \int 2^{lnx}dx \end{align*}\) |
Connaissances:
- Logarithme
- Primitive de \(e^u\)
\(\begin{align*} I & = \int 2^{lnx}dx \\
& = \int \big( e^{ln2}\big)^{lnx} dx\\
& = \int e^{ln2 \times lnx} dx\\
& = \int \big(e^{lnx} \big) ^{ln2} dx\\
& = \int x^{ln2} dx \\
& = \frac{1}{ln2+1}x^{ln2+1} + C\\
& = \frac{1}{ln2+1}x^{ln2}.x^1 + C \\
& = \frac{1}{ln2+1}.2^{lnx}.x +C \\
& = \frac{x. 2^{lnx}}{ln2+1} +C \end{align*}\)
\[\boxed {\begin{align*} I = \frac{x. 2^{lnx}}{ln2+1} +C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]
Exercice 66
\(\begin{align*} \int sinx.cos(2x).dx \end{align*}\) |
Connaissances:
- Trigonométrie
- Changement de variable
\(\begin{align*} I & = \int sinx.cos(2x).dx \\
& = \int sinx.(2cos²x-1).dx \end{align*}\)
Procédons au changement de variable: \( u= cosx \Rightarrow du = -sinx.dx\), ainsi:
\(\begin{align*} I & = \int sinx.(2cos²x-1).dx \\
& = - \int (2cos²x-1) \times -sinx.dx \\
& = -\int (2u²-1).du \\
& = -\frac{2}{3}u^3 + u + C \\
& = -\frac{2}{3}cos^3x + cosx + C \end{align*}\)
\[\boxed {\begin{align*} I = -\frac{2}{3}cos^3x + cosx +C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]