Exercice 80
\(\begin{align*} \int^5_0 f(x) .dx \end{align*}\) avec \(f(x)\) continue par morceaux |
Connaissances:
- Relation de Chasles
\(f(x)\) est continue par morceaux. Par exemple: \(f(x) = \begin{cases}10 \text{ si } x \leq 2 \\ 3x²-2 \text{ si }x>2 \end{cases}\)
Alors:
\(\begin{align*}I & = \int_0^5 f(x)dx \\
& = \int_0^2 f(x)dx + \int_2^5 f(x)dx \\
& = \int_0^2 10dx + \int_2^5 (3x²-2)dx \\
& = 20 + \bigg[x^3-2x \bigg]_2^5 \\
& = 20 + (125-10)-(8-4) = 131
\end{align*}\)
\[\boxed {\begin{align*} I = 131 \end{align*}}\]
Exercice 79
\(\begin{align*} \int arctan (x) .dx \end{align*}\) |
Connaissances:
- Intégration par parties
- Changement de variable trigonométrique
- Trigonométrie
\(\begin{align*}I & = \int arctan ( x).dx \end{align*}\)
Pour résoudre cette intégrale, il faut passer par une Intégration par Parties
| \(D\) | \(I\) | ||
| \(+\) | \(arctan(x)\) | \(1\) | |
| \(\searrow\) | |||
| \(-\) | \(\frac{1}{1+x²}\) | \(\rightarrow\) | \(x\) |
\(\begin{align*}I & = x.arctan(x) - \int \frac{x}{1+x²}dx \\
& = x.arctan(x) - \frac{1}{2} \int \frac{2x}{1+x²}dx \\
& = x.arctan(x) - \frac{1}{2} ln(1+x²) +C \end{align*}\)
\[\boxed {\begin{align*} I = x.arctan(x) - \frac{1}{2} ln(1+x²) +C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]
Exercice 78
\(\begin{align*} \int sin^{-1}(\sqrt{x}) dx \end{align*}\) |
Connaissances:
- Intégration par parties
- Changement de variable trigonométrique
- Trigonométrie
Posons le changement de variable \(u = \sqrt x \Rightarrow t=u² \Rightarrow dt = 2u.du\)
\(\begin{align*}I & = \int sin^{-1}(\sqrt x).dx = \int sin^{-1}u \times 2u.du \\ \end{align*}\)
Essayons une intégration par partie, en essayant de se débarraser de \(sin^{-1}\), donc en le dérivant:
| \(D\) | \(I\) | ||
| \(+\) | \(sin^{-1}u\) | \(2u\) | |
| \(\searrow\) | |||
| \(-\) | \(\frac{1}{\sqrt{1-u²}}\) | \(\rightarrow\) | \(u²\) |
\(\begin{align*}I & = \int sin^{-1}u \times 2u.du \\
& = u²sin^{-1}u-\int \frac{u²}{\sqrt{1-u²}}du = u²sin^{-1}u-I_1 \end{align*}\)
Pour calculer \(I_1\), posons le changement de variable: \(u=sint \Rightarrow du =cost.dt\)
\(\begin{align*}I_1 & = \int \frac{u²}{\sqrt{1-u²}}du = \int \frac{sin²t}{\sqrt{1-sin²t}}cost.dt \\
& = \int \frac{sin²t}{\sqrt{cos²t}}cost.dt = \int sin²t.dt \\
& = \frac{1}{2}\int (1-cos(2t)).dt +C = \frac{1}{2}(t-\frac{1}{2}sin(2t)) +C \\
& = \frac{1}{2}(t-\frac{1}{2}2.sint.cost) +C = \frac{1}{2}t-\frac{1}{2}sint.cost +C \\
\end{align*}\)
Un petit dessin de triangle rectrangle: t= angle, u = cote opposé , 1 = hypothénuse
\(u=sin t \Rightarrow sint = u/1 \Rightarrow \begin{cases} sint = u \\ cos t = \sqrt{1-u²}\end{cases}\)
\(\begin{align*}I_1 = \frac{1}{2}t-\frac{1}{2}sint.cost = \frac{1}{2}sin^{-1}u-\frac{1}{2}u.\sqrt{1-u²} \\
\end{align*}\)
On peut maintenant calculer \(I\):
\(\begin{align*}I & = u²sin^{-1}u-I_1 \\
& = u²sin^{-1}u - \frac{1}{2}sin^{-1}u + \frac{1}{2}u.\sqrt{1-u²} +C \\
& = xsin^{-1}\sqrt x - \frac{1}{2}sin^{-1}\sqrt x + \frac{1}{2}\sqrt x.\sqrt{1-x} +C \\ \end{align*}\)
\[\boxed {\begin{align*} I = xsin^{-1}\sqrt x - \frac{1}{2}sin^{-1}\sqrt x + \frac{1}{2}\sqrt x.\sqrt{1-x} +C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]
Exercice 77
\(\begin{align*} \int x^{\frac{x}{lnx}}dx \end{align*}\) |
Connaissances:
- Calcul avec exponentiel
Multiplions par le conjugué du dénominateur \(1-x\):
\(\begin{align*}I & = \int x^{\frac{x}{lnx}}dx \\ & = \int (e^{lnx})^{\frac{x}{lnx}}dx \\
& = \int e^xdx = e^x+C \end{align*}\)
\[\boxed {\begin{align*} I = e^x +C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]
Exercice 76
\(\begin{align*} \int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx \end{align*}\) |
Connaissances:
- Multiplication par le conjugué du dénominateur
- Trigonométrie: dérivée de \(sin^{-1}x= \frac{1}{\sqrt{1-x²}}\)
- Exercice 12
Multiplions par le conjugué du dénominateur \(1-x\):
\(\begin{align*}I & = \int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx = \int \sqrt{\frac{(1-x)(1-x)}{(1+x)(1-x)}}dx \\
& = \int \sqrt{\frac{(1-x)²}{1-x²}}dx = \int \frac{1-x}{\sqrt{1-x²}}dx \\
& = \int \frac{1}{\sqrt{1-x²}} - \int \frac{x}{\sqrt{1-x²}}dx \\
& = sin^{-1}x + \sqrt{1-x²} +C \end{align*}\)
\[\boxed {\begin{align*} I = sin^{-1}x + \sqrt{1-x²} +C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]
Pour se convaincre; on essaiera de dériver \( \sqrt{1-x²} \) et on trouvera : \(\frac{x}{\sqrt{1-x²}}\)