Primitives et Intégrales

Dans ce chapitre :

les primitives des fonctions usuelles
les formes remarquables
quelques exemples

1 - Primitives des fonctions usuelles

Certaines fonctions sont vues à partir de la classe de Terminale et d'autres en Post-Bac

la fonction $f$	Une primitive de $f$	sur l'interval ...	remarque
$f(x)=0$	$F(x)$	$\mathbb R$		Terminale
$f(x)=1$	$F(x)=x$	$\mathbb R$		Terminale
$f(x)=a$	$F(x)=ax$	$\mathbb R$		Terminale
\[ x^n \\ \space \\ n \in \mathbb N-\{ -1 \} \]	$ \begin{align}F(x)=\frac{1}{n+1} \times x^{n+1} \end{align}$	$\mathbb R$	- augmenter l'exposant ($ \Rightarrow n+1$) - puis diviser par le nouvel exposant ($n+1$)	Terminale
$ \begin{align}\frac{1}{x^n} = x^{-n} \\ \\ n \in \mathbb N^- \{ 1\} \end{align*}$	$ \begin{align}F(x)= \frac{1}{-n+1} \times x^{-n+1} \\ = \frac{1}{-(n-1)\times x^{n-1}} \end{align}$	$\mathbb R_-^$ ou $\mathbb R_+^$	- on applique la méthode ci-dessus	Terminale
$ \begin{align}\frac{1}{x} \end{align}$	$ \begin{align} ln \lvert x \rvert \end{align}$	$\mathbb R_-^$ ou $\mathbb R_+^$		Terminale
$ \begin{align}\frac{1}{\sqrt x} = x^{-\frac{1}{2}} \end{align}$	$ \begin{align}\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1/2}+C= 2 \sqrt x \end{align}$	$\mathbb R^{+*}$	- on peut appliquer la méthode ci-dessus	Terminale
$\begin{align}f(x) = e^x \end{align}$	$\begin{align}F(x) = e^x \end{align}$	$\mathbb R$	- Par définition de $e^x$
$\begin{align}f(x) = e^{\lambda x} \\ \lambda \in \mathbb C^ \end{align*}$	$\begin{align}F(x) = \frac{1}{\lambda} e^{\lambda x} \end{align}$	$\mathbb R$
$\begin{align}f(x) = ln x \end{align}$	$\begin{align}F(x) & = x.lnx-x \end{align}$	$\mathbb R_+^*$	- IPP de $1 \times lnx$
$\begin{align}f(x) = sinh x \end{align}$	$\begin{align}F(x) & = coshx \end{align}$	$\mathbb R$
$\begin{align}f(x) = cosh x \end{align}$	$\begin{align}F(x) & = sinhx \end{align}$	$\mathbb R$
$\begin{align}f(x) = cos x \end{align}$	$\begin{align}F(x) & = sinx \end{align}$	$\mathbb R$
$\begin{align}f(x) = sin x \end{align}$	$\begin{align}F(x) & = -cosx \end{align}$	$\mathbb R$
$\begin{align}f(x) = tan x \end{align}$	$\begin{align}F(x) & = - ln \lvert cosx \rvert \end{align}$	\[]-\pi/2+k\pi; \pi/2 + k \pi[ \\ ; \space k \in \mathbb Z\]
$\begin{align}f(x) = \frac{1}{1+x²} \end{align}$	$\begin{align}F(x) & = Arctan x \\ & = tan^{-1}x\end{align}$	$\mathbb R$
$\begin{align}f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x²}} \end{align}$	$\begin{align}F(x) & = Arcsin x \\ & = sin^{-1}x\end{align}$	$]-1;1[$
$\begin{align}f(x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x²}} \end{align}$	$\begin{align}F(x) & = Arcos x \\ & = cos^{-1}x \end{align}$	$]-1;1[$

2 - Formes remarquables

Soit $u$ , une fonction:

Fonctions $f$	Une primititve $f$	Remarque
$\begin{align}u'u^n \space , \space n \in \mathbb N \end{align}$	$\begin{align}\frac{1}{n+1} \times u^{n+1}\end{align}$		Terminale
$\begin{align}\frac{u'}{u^n} \space , \space n \geq 2 \end{align}$	$\begin{align}-\frac{1}{n-1}\times \frac{1}{u^{n-1}} \end{align}$	$ \forall \space x \in I, u(x) \neq 0$	Terminale
$\begin{align}\frac{u'}{u} \end{align}$	$\begin{align} ln \lvert u \rvert \end{align}$	$ \forall \space x \in I, u(x) \neq 0$	Terminale
$\begin{align}\frac{u'}{\sqrt u} \end{align}$	$\begin{align}2 \sqrt u \end{align}$	$ \forall \space x \in I, u(x) \geq 0$	Terminale
$\begin{align}u'e^u \end{align}$	$\begin{align} e^u \end{align}$	$ \forall \space x \in \mathbb R$
$\begin{align}u'cosu \end{align}$	$\begin{align} sinu \end{align}$	$ \forall \space x \in \mathbb R$
$\begin{align}u'sinu \end{align}$	$\begin{align} -cosu \end{align}$	$ \forall \space x \in \mathbb R$
$\begin{align}u'tanu \end{align}$	$\begin{align} -ln \lvert cosu \rvert \end{align}$	$ \forall \space x \in \mathbb R$
$\begin{align}u'coshu \end{align}$	$\begin{align} sinu \end{align}$	$ \forall \space x \in \mathbb R$
$\begin{align}u'sinhu \end{align}$	$\begin{align} coshu \end{align}$	$ \forall \space x \in \mathbb R$
$\begin{align}u'tanu \end{align}$	$\begin{align} ln \lvert coshu \rvert \end{align}$	$ \forall \space x \in \mathbb R$

3 - Exemples

3-1 $u'u^n$

$x^{\alpha}$ a pour primitive $\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$

$u'.u^{\alpha}$ a pour primitive $\frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}$

$f(x) =(2x+3)(x²+3x)^3$

On remarque que $\big[ x²+3x\big]' = 2x+3$. Nous avons donc une forme en $u' \times u^n$ avec $n=3$

Une primitive de $u' \times u^n$ est $\begin{align*} u^{\overbrace{n}^{+1}} \end{align*}$ divisé par $n+1$

Une primitive de $(2x+3)(x²+3x)^3$ est $\begin{align*} \frac{(x²+3x)^{3+1}}{3+1} \end{align*}$

Ce qui donne $F(x) =((x²+3x)^4\times \frac{1}{4} + C$ avec $C \in \mathbb R$

3-2 $u'/u$

$\begin{align*}\frac{1}{x} \end{align*}$ a pour primitive $ln \lvert x \rvert$

$\begin{align*}\frac{u'}{u}\end{align*}$ a pour primitive $ln \lvert u \rvert $

$ \begin{align*} f(x) =\frac{cosx}{3+2sinx} \end{align*}$

On remarque que $\big[ 3+2 sinx]' = 2cosx$. Nous avons donc une forme en $\frac{u'}{u}$ a un facteur $2$ prés.

$ \begin{align*} f(x) =\frac{cosx}{3+2sinx} = \frac{1}{2} \times \frac{2cosx}{3+2sinx} = \frac{1}{2} \times \frac{u'}{u}\end{align*}$

$ \begin{align*} F(x) =\frac{1}{2} \times ln \lvert \frac{2cosx}{3+2sinx} \rvert \end{align*}$ avec $C \in \mathbb R $

3-3 $u'lnu$

$lnx$ a pour primitive $lnx-x$

$u'lnu$ a pour primitive $ulnu-u$

$\begin{align*} f(x) = \frac{ln\sqrt x}{\sqrt x} \end{align*}$

On remarque que $\begin{align*} \big[\sqrt x]' = \frac{1}{2 \sqrt x} \end{align*}$. Nous avons donc une forme en $u' \times lnu$ a un facteur $2$ prés.

$\begin{align*} f(x) = 2 \times \frac{1}{ 2 \sqrt x} \times ln\sqrt x = 2u'.lnu \end{align*}$

$ \begin{align*} F(x) & = 2 \times (u.lnu-u) = 2 \times (\sqrt x . ln( \sqrt x) - \sqrt x) \\
& = 2 \sqrt x \times (ln (\sqrt x -1) \end{align*} $

$ \begin{align*} F(x) =2 \sqrt x \times (ln (\sqrt x -1) + C \end{align*} $ avec $C \in \mathbb R $

3-4 $u'e^u$

$e^x$ a pour primitive $e^x$

$u'e^u$ a pour primitive $e^u$

$\begin{align*} f(x) = 2x².e^{x^3-1} \end{align*}$

On remarque que $\begin{align*} \big[x^3-1]' = 3x² \end{align*}$. Nous avons donc une forme en $u' \times e^u$ a un facteur prés.

$\begin{align*} f(x) =2x².e^{x^3-1} = 2 \times \frac{1}{3}3x²e^{x3-1}= \frac{2}{3}u'e^u \end{align*}$

$ \begin{align*} F(x) & =\frac{2}{3} e^u = \frac{2}{3} e^{x^3-1}+ C \end{align*} $ avec $C \in \mathbb R $

3-5 $\frac{u'}{\sqrt u}$

$\frac{1}{\sqrt x}$ a pour primitive $2 \sqrt x$

$\frac{u'}{\sqrt u}$ a pour primitive $2 \sqrt u$

$\begin{align*} f(x) = \frac{2sinx}{\sqrt{4-cosx}} \end{align*}$

On remarque que $\begin{align*} \big[4-cosx]' = sinx \end{align*}$. Nous avons donc une forme en $\frac{u'}{\sqrt u}$ a un facteur prés.

$\begin{align*} f(x) =2 \times \frac{sinx}{\sqrt{4-cosx}} = 2 \times \frac{u'}{\sqrt u} \end{align*}$

$ \begin{align*} F(x) & =2 \times 2 \sqrt u =2 \times 2 \sqrt {4-cosx} \end{align*} $

$ \begin{align*} F(x) & =4 \sqrt {4-cosx} +C \end{align*} $ avec $C \in \mathbb R $

3-6 $u'sinu$

$sinx$ a pour primitive $-cosx$

$u'sinu$ a pour primitive $-cosu$

$\begin{align*} f(x) = (x+\frac{3}{2})sin(x²+3x) \end{align*}$

On remarque que $\begin{align*} \big[x²+3x]' = 2x+3 = 2 \times (x+ \frac{3}{2}) \end{align*}$. Nous avons donc une forme en $u'sinu$ a un facteur prés.

$\begin{align*} f(x) =\frac{1}{2} \times 2 \times (x+\frac{3}{2})sin(x²+3x) =\frac{1}{2} \times (2x+3)sin²+3x) =\frac{1}{2} u'sinu \end{align*}$

$ \begin{align*} F(x) & =\frac{1}{2} \times (-cos u) = - \frac{1}{2}cos(x²+3x) \end{align*} $

$ \begin{align*} F(x) & =- \frac{1}{2}cos(x²+3x)+C \end{align*} $ avec $C \in \mathbb R $

Le même genre d'intégration peut être faite avec des fonctions

$u'cosu$ dont une primitive est $sinu$
$u'sinhu$ dont une primitive est $coshu$
$u'coshu$ dont une primitive est $sinhu$

3-7 $u'tanu$

$tanx$ a pour primitive $-ln \lvert cosx \rvert$

$u'tanu$ a pour primitive $-ln \lvert cosu \rvert$

$\begin{align*} f(x) = 5x \times tan(3x²) \end{align*}$

On remarque que $\begin{align*} \big[3x² \big]' =6x \end{align*}$. Nous avons donc une forme en $u'tanu$ a un facteur prés.

$\begin{align*} f(x) =\frac{5}{6} \times 6x \times tan(3x²) =\frac{5}{6} \times u'tanu \end{align*}$

$ \begin{align*} F(x) & =\frac{5}{6} \times -ln \lvert cos(3x²) \rvert = - \frac{5}{6}ln \lvert cos(3x²) \rvert \end{align*} $

$ \begin{align*} F(x) & =- \frac{5}{6}ln \lvert cos(3x²) \rvert+C \end{align*} $ avec $C \in \mathbb R $

Il en va de même avec

$u'tanhu$ dont une primitive est $ln ( tanhu )$ car $tanh(u) \geq 0$

3-8 $u'tanu$

$tanx$ a pour primitive $-ln \lvert cosx \rvert$

$u'tanu$ a pour primitive $-ln \lvert cosu \rvert$

$\begin{align*} f(x) = 5x \times tan(3x²) \end{align*}$

On remarque que $\begin{align*} \big[3x² \big]' =6x \end{align*}$. Nous avons donc une forme en $u'tanu$ a un facteur prés.

$\begin{align*} f(x) =\frac{5}{6} \times 6x \times tan(3x²) =\frac{5}{6} \times u'tanu \end{align*}$

$ \begin{align*} F(x) & =\frac{5}{6} \times -ln \lvert cos(3x²) \rvert = - \frac{5}{6}ln \lvert cos(3x²) \rvert \end{align*} $

$ \begin{align*} F(x) & =- \frac{5}{6}ln \lvert cos(3x²) \rvert+C \end{align*} $ avec $C \in \mathbb R $

Il en va de même avec

$u'tanhu$ dont une primitive est $ln \lvert tanhu \rvert $

Pour toute cette partie, $I$ est un intervalle d'intérieur non vide. Les fonctions considérées sont à valeurs dans $\mathbb K$. ($\mathbb K$ est l'ensemble des réels $\mathbb R$ ou des complexes $\mathbb C$)

1- Généralités

Définition:

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$.

On appelle primitive de $f$ sur l'intervalle $I$, une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $\forall \space \in I, F'(x)=f(x) $

Par exemple de $F(x) = x²$ est une primitive de de $f(x)= 2x$. En effet, $F'(x) = (x²)'=2x = f(x)$

Remarque:
Si $f$ est à valeurs dans $\mathbb C$, alors on peut écrire:

$f=f_1+if_2$ avec $f_1= \Re (f)$ et $f_2 = \Im(f)$, et
$F = F_1+iF_2$ avec $F_1'=f_1$ et $F_2'=f_2$

Propriété:

Si une fonction $f$ dérivable sur $I$ vérifie $f(x) =0$ pour tout $x ∈ \mathbb K$ alors $F$ est une fonction constante sur $I$

En effet, si $\forall x \in \mathbb R, F(x) = C$, alors $F'(x)=0=f(x)$

Théorème:

Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives

Propriétés:

Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ alors toute primitive de $f$ sur $I$ est de la forme $G=F+k$ avec $k \in \mathbb K$

Et $\forall \space x_0 \in I, y_0 \in \mathbb K$ alors il existe une unique fonction $F_0$ de $f$ telle que $F_0(x_0) = y_0$

Par exemple:

Donnez l'ensemble des primmitives de $f(x) = 2x$:
$f(x)$ est définie et continue sur $\mathbb R$, et la fonction $F(x)=x²+C$ avec $C \in \mathbb R$ est une primitive de $f(x)$ car $F'(x) = 2x \space \forall \space x \in \mathbb R$
En déduire la primitive de $f(x)$ qui prend la valeur $5$ pour $x=1$
$F(1) = 5 \Rightarrow 1²+C=5 \Rightarrow C=4$
$F(x) = x²+ 4$ est la primitive de $f(x)=2x$ qui prend la valeur $5$ pour $x=1$

Remarque: Pour déterminer toutes les primitives d'une fonction, il suffit d'en trouver une. Toutes les autres s 'en déduisent à une constante près.

Proposition:

Soient $f$ et $g$ deux fonctions admettant des primitives $F$ et $G$ sur un intervalle $I$.
Alors pour tout couple ($\lambda; \mu) \in \mathbb K²$ la fonction $\lambda F + \mu G$ est une primitive sur $I$ de la fonction $\lambda f + \mu g$

Remarque importante :

De nombreux calculs de primitives se font en reconnaissant la dérivée d'une fonction composée. Par exemple:
$\begin{align*} \begin{cases} & \mathbb R & \to & \mathbb K \\
& x & \mapsto & f(ax+b) \end{cases} \end{align*}$ a pour primitive (avec $a \neq 0$) $\begin{align*} \begin{cases} & \mathbb R & \to & \mathbb K \\
& x & \mapsto & \frac{1}{a}F(ax+b) \end{cases} \end{align*}$
On comprend alors l'importance de bien connaître les dérivées des fonctions usuelles et le tableau des primitives usuelles

2 - Existence de primitive

Le théorème suivant permet :

d'assurer l'existence de primitives pour une fonction continue sur un intervalle
de calculer une intégrale à l'aide d'une primitive
de ramener la recherche de primitives à un calcul d'intégrale.

Ce théorème est connu sous le nom de Théorème fondamental de l'analyse
On peut généraliser la notion d 'intégrale aux fonctions à valeurs dans $\mathbb C$. Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ et a valeurs dans $\mathbb C$ , et si $(a;b) \in \mathbb C²$, alors l'intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ est définie par:

\[ \begin{align*} \int_a^b f(t)dt = \int_a^b (\Re f(t)) dt + \int_a^b (\Im f(t))dt \end{align*}\]

Théorème:

Soit $f$ une fonction continue sur $I$ et $a \in I$. Alors la fonction

$\begin{align*} F : \space & I & \to \space \space\space\space\space & \mathbb K \\ & x & \mapsto \space \space\space\space \space & \int_a^x f(t)dt \end{align*}$

est dérivable sur $I$ et a pour dérivée la fonction $f$

Plus précisément, $F$ est l'unique primitive de $f$ sur $I$ s'annulant en $a$

Proposition:

Soit $f$ une fonction continue sur $I$ et $F$ une primitive de $f$ sur $I$. Alors:

\[\forall \space (a;b) \in I² , \space \int_a^b f(t)dt = F(b)-F(a) = \big[F\big]_a^b = \big[F(t)\big]_a^b\]

Remarque: Soit $f$ une fonction continue sur $I$ et $a \in I$. Les primitives de $f$ sur $I$ sont donc les fonctions
$x \mapsto \int_a^x f(t)dt +C$ avec $C \in \mathbb K$

Primitives usuelles vues en classe de Terminale

Soient:

$C \in \mathbb R$
$n \in \mathbb N$
$a,b \in \mathbb R²$ avec $a \neq 0$

la fonction ...	admet pour primitive ...	sur l'interval ...	remarque
$1$	$x+C$	$\mathbb R$
$x^n$	$ \begin{align}\frac{1}{n+1} \times x^{n+1} +C \end{align}$	$\mathbb R$	- augmenter l'exposant ($ \Rightarrow n+1$) - puis diviser par le nouvel exposant ($n+1$)
$ \begin{align}\frac{1}{x^n} = x^{-n}\space , n \neq 1 \end{align}$	$ \begin{align}= \frac{1}{-n+1} \times x^{-n+1}= \frac{1}{-(n-1)\times x^{n-1}} + C \end{align}$	$\mathbb R^*$	- on applique la méthode ci-dessus
$ \begin{align}\frac{1}{x} \end{align}$	$ \begin{align} ln \lvert x \rvert +C \end{align}$	$\mathbb R^{*}$
$ \begin{align}\frac{1}{\sqrt x} = x^{-\frac{1}{2}} \end{align}$	$ \begin{align}\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1/2}+C= 2 \sqrt x+C \end{align}$	$\mathbb R^{+*}$	- on peut appliquer la méthode ci-dessus
$ \begin{align}e^{ax+b} \end{align}$	$ \begin{align} \frac{1}{a} e^{ax+b}+C \end{align}$	$\mathbb R$	- fonction composée : $\big[ f(g(x) \big]' = f'(g(x)) \times g'(x)$
$ \begin{align}cos(ax+b) \end{align}$	$ \begin{align}\frac{1}{a} sin(ax+b)+C \end{align}$	$\mathbb R$	- fonction composée
$ \begin{align}sin(ax+b) \end{align}$	$ \begin{align}- \frac{1}{a} cos(ax+b)+C \end{align}$	$\mathbb R$	- fonction composée
$ \begin{align}\frac{lnx}{x} \end{align}$	$ \begin{align}\frac{(ln x)²}{2} +C \end{align}$	$\mathbb R^{+*}$	- fonction composée
$ \begin{align}\frac{1}{x\times lnx} \end{align}$	$ \begin{align}ln \lvert lnx \rvert + C\end{align}$	$\mathbb R^{+*}$	- fonction composée

Dès l’Antiquité le problème du calcul de grandeurs est posé (aire d’une surface, longueur d’une courbe) est posé.

Archimède développe la méthode d’exhaustion: il approche l’aire délimitée par un arc de parabole à l’aide d’aires géométriques simples.

Cette méthode restera la seule connue pendant 20 siècles!

Au 17ième siècle, l’invention du calcul infinitésimal permet de nouvelles avancées. A l’origine le calcul intégral est développé par Leibniz (1646-1716) et Newton (indépendamment l’un de l’autre).

Désormais l’intégration est vue comme un problème inverse de la dérivation. Cette approche est poursuivie par de nombreux mathématiciens pendant deux siècles.

La formalisation arrive avec

la célèbre intégrale de Riemann (1826-1866), mathématicien allemand, à l’origine des développements ultérieurs de la théorie, et
l’intégrale de Lebesgue au début du 20ième siècle.

L’intégration est encore un sujet de recherche contemporain

A quoi servent elles?
La règle de Bioche
Exemple: $t=cosx$ avec $f(-x)=-f(x)$
Exemple: $t=sinx$ avec $f(\pi-x)=-f(x)$
Exemple: $t=tanx$ avec $f(\pi+x)=f(x)$
Exemple: $t=cos(2x)$ si les 3 méthodes ci-dessus fonctionnent

A quoi servent les règles de Bioche

Les règles le Bioche permettent d'intégrer des fonctions rationnelles de polynômes en $sin(x)$ et $cos(x)$.

Ce sont les fonctions construites à partir de $cosx.sinx$ et $sinx.sinx$ et de constantes en utilisant les ``quatre opérations'' $+, - ,\times \text{ et } \div$".
Autrement dit, ce sont les fractions rationnelles en deux variables $R(u,v)$ dans lesquelles on remplace $u$ par $cosx$ et $v$ par $sinx$
Pour calculer $I=\int{R(u,v)dx}$, il y a un changement de variable qui marche toujours, à tous les coups : la substitution de Weierstrass: $t=tan(x/2)$. (voir l'article précédent)

Cependant, ce calcul n'est pas très agréable en général. Il est lourd et peu élégant. On a intérêt à rechercher si d'autres changements de variable plus "économiques" veulent bien marcher. Il y a un truc pour trouver ces changements de variables, connu sous le nom de règles de Bioche.

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Règle de Bioche

Soient P et Q, 2 polynômes:
\[I=\int\frac{P(sinx,cosx)}{Q(sinx,cosx)}dx=\int{f(x)dx}\]

Alors, si:

si $ f(-x)=-f(x)$, il peut être utile de poser un changement de variable $t=cosx$ et faire apparaitre $f(x)=g(cosx).(-sinx)dx$
si $f(\pi-x)=-f(x)$, il peut être utile de poser un changement de variable $t=sinx$ et faire apparaitre $f(x)=g(sinx).(cosx)dx$
si $f(\pi+x)=f(x)$, il peut être utile de poser un changement de variable $t=tanx$ et faire apparaitre $f(x) = g(tanx).\frac{1}{cos²(x)dx}$ ou $f(x) = g(tanx).(1+tan²x)dx$
dans les autres cas, le changement de variable $t=tan \frac{x}{2}$ (substitution de Weierstrass) fonctionne. Dans ce cas, remplacer les $sinx$, $cosx$, et $dx$ par leur valeurs en fonction de $t$. (vois l'article précédent)

Remarque: si les 3 règles ci-dessus fonctionnent, alors le changement de variable $t=cos(2x)$ peut être assez efficace avec $dt=-2sin(2x)dx$

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Exemple: $t=cosx$

Calculer $I=\int{\frac{sinx}{1+cosx} dx}$. C'est une fraction rationnelle en $cosx$ et $sinx$.

Posons $f(x)=\frac{sinx}{1+cosx}$ et remarquons que $f(-x)=\frac{sin(-x)}{1+cos(-x)}=\int{\frac{-sinx}{1+cosx}dx}$
\[\Rightarrow f(-x)=-f(x)\]

Posons $t=cosx$ et faisons apparaître $-sinxdx$ dans $f(x)$

$\begin{align*} I & = \int{\frac{sinx}{1+cosx} dx} = \int{\frac{-1}{1+cosx}(-sinxdx)} && \Leftarrow \text{on cherche } g(cosx)(-sinx.dx)\\
& = -\int{\frac{dt}{1+t}} = -\ln{\lvert 1+t \rvert}+C (\in \mathbb R)
\end{align*}$

Il reste à remplacer $t$ par $cosx$ , et pour finir: $I=-\ln{\lvert 1+cost \rvert}+C (\in \mathbb R)$

En gardant la méthode générale: $t=tan(x/2)$

$\begin{align*} I & = \int{\frac{\frac{2t}{1+t²}}{1+\frac{1-t²}{1+t²}}\frac{2dt}{1+t²}} = \cdots
\end{align*}$ calculs un peu bourrin, et peu satisfaisant!!

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Exemple: $t=sinx$

Calculer $I=\int{(1+sinx).tanx.dx}$ pour $x \in ]-\pi/2;+\pi/2[$ $x \in] - π / 2, π / 2 [$ . C'est une fraction rationnelle en $cosx$ et $sinx$.

Posons$f(x)= (1+sinx).tanx$ et remarquons que:
$f(\pi-x)= (1+sin(\pi-x).tan(\pi-x) = (1+sinx).(-tanx)=-f(x)$

Posons $t=sinx$, et $dt=cosxdx$. On va chercher à isoler un $cosxdx$

$\begin{align*} I &=\int{(1+sinx)tanxdx} = \int{(1+sinx)\frac{sinx}{cosx}dx} && \Leftarrow \text{on cherche: }g(sinx).cosxdx \\
& = \int{(1+sinx).sinx.\frac{cosxdx}{cos²x}} && \Leftarrow \text{on multiplie haut et bas par }cosx \\
& = \int{\frac{(1+sinx).sinx}{1-sin²x}cosdx} && \Leftarrow \text{identité remarquable pour avoir }g(sinx)\\
& = \int{\frac{(1+t)t}{1-t²}dt} = \int{\frac{(1+t)t}{(1+t)(1-t)}dt} = \int{\frac{t}{1-t}dt} && \Leftarrow \text{on simplifie au max} \\
& = \int{\frac{t-1+1}{1-t}dt}=\int{\frac{t-1}{1-t}+\frac{1}{1-t}dt}=\int{\big(\frac{1}{1-t}-1\big)dt} && \Leftarrow \text{technique du +1-1} \\
& = -t-\ln{\lvert 1-t \rvert}+C(\in \mathbb R)
\end{align*}$
Il reste à remplacer $t$ par $sinx$ et pour finir: $\boxed{I= -sinx - \ln{\lvert1-sinx\rvert}+C(\in \mathbb R)}$

En gardant la méthode générale $t=tanx/2$:

$\begin{align*} I & =\int{(1+\frac{2t}{1+t²}).\frac{2t}{1-t^2}.\frac{2}{1+t²}dt } = \int{ \frac{(1+t²+2t).4t}{(1+t²)². (1-t²)} dt } \\
& =\int{\frac{4t(1+t).(1+t)}{(1+t²)².(1-t).(1+t)} dt }= \int{\frac{4t(1+t)}{(1+t²)².(1-t)}dt} \end{align*}$

La situation serait bien plus délicate.........

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Exemple: $t=tanx$

Calculer $I=\int{\frac{sin²x}{cos^4x}.dx}$. C'est une fraction rationnelle en $cosx$ et $sinx$.

Posons$ f(x)= \frac{sin²x}{cos^4x}$ et remarquons que: $f(\pi+x)= \frac{sin²(\pi+x)}{cos^4(\pi+x)}= \frac{sin²x}{cos^4x}=f(x)$

Posons $t=tanx$, et $dt=\frac{1}{cos²x}dx$. On va chercher à isoler un $\frac{1}{cos²x}dx$

$\begin{align*} I &=\int{\frac{sin²x}{cos^4x}dx} =\int{\frac{sin²x}{cos^²x}\frac{dx}{cos²x}dx} && \Leftarrow \text{on cherche:}g(tanx).\frac{1}{cos²x}dx \\
& = \int{tan²x.\frac{dx}{cos²x}} = \int{t².dt} = \frac{1}{3}t^3 +C(\in \mathbb R)
\end{align*}$

Il reste à remplacer $t$ par $tanx$ et pour finir: $\boxed{I= \frac{1}{3}.tan^3x+C(\in \mathbb R)}$

Je vous laisse faire le calcul en posant $t=tanx/2 \dots$

Ne pas oublié que $\frac{1}{cos²t}=1 + tan²x$. Cela pourrait dans certains cas simplifier drastiquement les calculs.
Dans ce cas, on chercherait a factoriser par $(1+tan²t)dt $

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Exemple: $t=cos(2x)$

Calculer $I = \int{ \frac{tanx}{1+sin²x}dx} $. C'est une fraction rationnelle en $cosx$ et $sinx$.

Posons $f(x)= \frac{tanx}{1+sin²x}$ et remarquons que: $\begin{cases} f(-x) = -f(x) \\ f(\pi-x) = -f(x) \\ f(\pi+x)= f(x) \end{cases}$, donc les 3 méthodes fonctionnent.

Posons $t=cos(2x)$, et $dt=-2sin(2x)dx=-4sinx.cosx.dx$. On va chercher à isoler un $-4sinx.cosx.dx$

Rappel de trigonométrie: $ \begin{cases} sin(2x)=2sinx.cosx \\ cos²x=\frac{1+cos(2x)}{2} = \frac{1+t}{2}\\ sin²x=\frac{1-cos(2x)}{2}=\frac{1-t}{2} \end{cases}$

$\begin{align*} I &=\int{ \frac{tanx}{1+sin²x}dx} =\int{\frac{sinx}{cosx(1+sin²x)}dx} && \Leftarrow \text{multiplier haut et bas par }cosx \\
& =\int{\frac{sinxcosx}{cos²x(1+sin²x)}dx}=-\frac{1}{4} \int{\frac{-4sinxcosx}{cos²x(1+sin²x)}dx} && \Leftarrow \text{multiplier haut et bas par -4 } \\
& = -\frac{1}{4} \int{\frac{dt}{\frac{1+t}{2}. \bigg (1+\frac{1-t}{2} \bigg ) } } =-\frac{1}{4} \int{\frac{dt}{(\frac{1+t}{2})(\frac{3-t}{2}) } } && \Leftarrow \text{remplacer par les valeurs calculées} \\
& = - \int{\frac{dt}{(1+t)(3-t)} } \\
& = \int{\frac{dt}{(1+t)(t-3)} } \\
& = \int{\frac{-1/4dt}{1+t}} + \int{\frac{1/4dt}{t+3}} = -\frac{1}{4}\ln \lvert 1+t \rvert+\frac{1}{4} \ln \lvert t-3 \rvert +C(\in \mathbb R) && \Leftarrow \text{décomposition en éléments simples} \\
& = \frac{1}{4} ln \bigg\lvert \frac{t-3}{t+1} \bigg\rvert +C(\in \mathbb R) \end{align*}$

Il reste à remplacer $t$ par $cos(2x)$ et pour finir: $\boxed{I= \frac{1}{4} ln \bigg\lvert \frac{cos(2x)-3}{cos(2x)+1} \bigg\rvert +C(\in \mathbb R)}$

On remarque que $cos(2x)-3 \le 0$, et que $cos(2x)+1 \ge 0$donc on pourrait retirer les valeurs absolues et inverser pour $3-cos(2x)$

Exercices

$\int{\frac{tan^5x}{cos^3x}dx}= \int{tan^5x.sec^3x.dx}=\frac{1}{7cos^7x}-\frac{2}{5cos^5x}+\frac{1}{3cos^3x} +C = 7sec^7x-2/5sec^5x-1/3sec^3x+C, C \in \mathbb R$
$\int{\frac{cos(2x)}{sinx+cosx}dx}=sinx+cosx+C, C \in \mathbb R$. (Appliquez seulement des formules de trigo)
$\int{csc^3x.secx.dx}=\int \frac{1}{sin^3x.cosx}dx = \ln l\vert tanx \rvert+\frac{2}{2sin²x}+C, C \in \mathbb R$
$\int{\frac{cosx}{sin²3-5sinx -6}dx}= 1/7 \ln \lvert sinx-6 \rvert - 1/7 \ln \lvert sinx+1 \rvert+C, C \in \mathbb R$
$\int{\frac{sinx}{sec^2019x}dx}=-\frac{1}{2020}cos^{2020}x+C, C \in \mathbb R$
$\int{cos²(2x)}= 1/2x+1/8sin(4x)+C, C \in \mathbb R$

Primitives usuelles

1 - Primitives des fonctions usuelles

2 - Formes remarquables

3 - Exemples

3-1 \(u'u^n\)

3-2 \(u'/u\)

3-3 \(u'lnu\)

3-4 \(u'e^u\)

3-5 \(\frac{u'}{\sqrt u}\)

3-6 \(u'sinu\)

3-7 \(u'tanu\)

3-8 \(u'tanu\)

Primitives

1- Généralités

Définition:

Propriété:

Théorème:

Propriétés:

Proposition:

Remarque importante :

2 - Existence de primitive

Théorème:

Proposition:

Primitives usuelles vues en classe de Terminale