Exercice 29

\( \begin{align*}\int e^{2x}cosx.dx  \end{align*}\)

Connaissances:

  • intégration par parties consécutives
  • dérivées et primitive de fonctions \(e^x\)
  • dérivées et primitives de fonctions trigonométriques de base

\( \begin{align*} I & = \int e^{2x}cosx.dx  \end{align*}\)

Nous avons ici le produit de 2 fonctions facilement dérivables ou primitivables. Dans ce cas, peu importe le choix de la fonction à dériver. On peut remarquer que

  • en faisant une IPP, le terme \(e^{2x}\) reviendra toujours,
  • en faisant 2 IPP consécutives, le terme \(cosx\) se transformera en \(-cosx\).
  D   I
\(+\) \(e^{2x}\)   \(cosx\)
    \(\searrow\)  
\(-\) \(2e^{2x}\)   \(sinx\)
    \(\searrow\)  
\(+\) \(4e^{2x}\) \(\rightarrow\) \(-cosx\)

\( \begin{align*} I & = \int e^{2x}cosx.dx  \\
& = e^{2x}sinx-2e^{2x}(-cosx) +\int 4e^{2x}(-cosx)dx \\
I & = e^{2x}sinx+ 2e^{2x}cosx-4\times I \\
5I & = e^{2x}sinx + 2e^{2x}cosx \\
\end{align*}\)

\[ \boxed{\begin{align*} I = \frac{e^{2x}}{5}(sinx + 2coxx) +C (\in \mathbb R)  \end{align*}}\]