Exercice 26

\(\begin{align*}\int cos \sqrt{x}.dx\end{align*}\)

Connaissances:

  • changement de variable
  • primitives et dérivées de fonctions trigonométriques de base
  • Intégration par parties

\(\begin{align*}I & = \int cos \sqrt{x}.dx \\
& \text{Changement de vatiable } \begin{cases} u=\sqrt{x}  \\ u²=x \\ 2u.du = dx \end{cases} \\
I & = \int cosu \times 2u.du \\
\end{align*}\)

Ces 2 fonctions se primitivent et se dérivent facilement , ce qui nous indique une IPP:

  D   I
\(+\) \(2u\)   \(cosu\)
    \(\searrow\)  
\(-\) \(2\)   \(sin u\)
    \(\searrow\)  
\(+\) \(0\)   \(-cos u\)

 

\(\begin{align*}
I & = \int cosu \times 2u.du \\
& = 2u.sin u +2cos u +C \\
& = 2 \sqrt{x}.sin \sqrt{x} +2cos \sqrt{x} +C
\end{align*}\)

\[\boxed{I = 2 \sqrt{x}.sin \sqrt{x} +2cos \sqrt{x} +C (\in \mathbb R)}\]