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\(\begin{align*}I & = \int \frac{1}{x \sqrt{9x²-1}}dx\end{align*}\)
Remarques:
- Techniquement, il faut voir le \(9x²\) comme étant \((3x)²\) puis pratiquer un changement de variable.
- Par expérience , si on rencontre la forme \(\frac{1}{x \sqrt{(ax)²-1}}\) alors la réponse est du style \( sec^{-1} \sqrt{ax} + C\)
- on sait que \(sec²x-1=tan²x\) , ce qui implique le changement de variable \(3x=sec\theta\)
Procédons au changement de variable permettant de résoudre cette intégrale:
\(\begin{align*}
I & = \int \frac{1}{x \sqrt{9x²-1}}dx \\
& = \int \frac{1}{x \sqrt{(3x)²-1}}dx \\
& \text{Posons } \begin{cases}3x=sec \theta \\ \theta = sec^{-1}(3x) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=\frac{1}{3}sec \theta \\ dx= \frac{1}{3}sec \theta.tan \theta .d \theta \end{cases}\\
I & = \int \frac{1}{\cancel{\frac{1}{3}}\cancel{sec \theta} . \sqrt{sec² \theta-1}}\cancel{\frac{1}{3}}\cancel{sec \theta}.tan \theta .d \theta \\
& = \int \frac{tan \theta}{\sqrt{tan² \theta}}d \theta \\
& = \int \frac{tan \theta}{tan \theta}d \theta \\
& = \theta +C
\end{align*}\)
\[\boxed{I = sec^{-1}(3x) +C (\in \mathbb R)}\]
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