Exercice 24

\(\begin{align*}\int sec^{3}x.dx \\ \end{align*}\)

Connaissances:

  • intégration par parties
  • primitives et dérivées des fonctions trigonométriques simples
  • \(\int secx.dx\)

\(\begin{align*}\int sec^{3}x.dx \\ \end{align*}\)

Pour cette exercice, il faut retenir la méthode: une IPP

 

  D   I
\(+\) \(secx\)   \(sec²x\)
    \(\searrow\)  
\(-\) \(secx.tanx\)   \(tanx\)

 

\(\begin{align*}
I & = \int sec^{3}x.dx \\
& = sex.tanx-\int(secx.tanx.tanx)dx \\
& = secx.tanx-\int(secx.tan²x)dx && \text{ avec }tan²x = sec²x-1\\
& = secx.tanx-\int secx(sec²x-1)dx  && \text{ et en distribuant }\\
& = secx.tanx-\int sec^{3}x.dx+\int secx.dx  && \text{on remarque la réapparition de I}\\
& = secx.tanx-I+\int secx.dx \\
2I & = secx.tanx+\int secx.dx \\
& = secx.tanx + ln \lvert secx+tanx \rvert +C
\end{align*}\)

\[\boxed{I =\frac{1}{2} \big[ secx.tanx+ ln \lvert secx+tanx \rvert \big] +C (\in \mathbb R)}\]

Note : ici le calcul de \(\int secx.dx\)