Exercice 23

\(\begin{align*}\int sinx.secx.tanx.dx \end{align*}\)

Connaissances:

  • trigonométrie
  • primitive des fonctions trigonométriques de base

\(\begin{align*}
I &= \int sinx.secx.tanx.dx \\
& = \int sinx.\frac{1}{cosx}.tanx.dx \\
& = \int tan²x.dx 
\end{align*}\)

On remarque que :

\(\begin{align*}
 (tanx)' & =1+tan²x \\
& \Rightarrow  tanx  =\int(1+tan²x)dx +C\\
& \Rightarrow  tanx  = x + \int tan²x.dx+C \\
& \Rightarrow  \int tan²x.dx  = tanx -x+C
\end{align*}\)
\[\boxed{I = tanx-x+C (\in \mathbb R)}\]