Exercice 21

\(\begin{align*} \int sin^3x.cos²x.dx \end{align*}\)

\(\begin{align*}I & = \int sin^3x.cos²x.dx \end{align*}\)

Appliquons immédiatement la règle de Bioche:

• \(f(-x)=-f(x)\Rightarrow\) fonctionne
  
  • changement de variable \(u=cosx\)
  • on veut faire apparaitre \( -sinx.dx\) 

\(\begin{align*} I & =- \int sin²x.cos²x.(-sinx.dx)  \\
& =  \int -(1-cos²x)cos²x.(-sinx.dx) \\
& = \int (cos^4x-cos^²x).(-sinx.dx) \end{align*}\)
Posons \(\begin{align*} \begin{cases} u=cosx \\ du=-sinx.dx \end{cases} \end{align*}\) 
\(\begin{align*}I & = \int (u^4-u²)du \\
& = \frac{1}{5}u^5-\frac{1}{3}u^3 + C 
\end{align*}\)

\[\boxed{I=\frac{1}{5}cos^5x-\frac{1}{3}cos^3x + C \in \mathbb R}\]