Exercice 19

\(\begin{align*} \int cot^5x.dx \end{align*}\)

\(\begin{align*}
I & = \int cot^5x.dx \\
&= \int \frac{cos^5x}{sin^5x}dx  \end{align*}\)

• \(f(-x)=-f(x)\)
• \(f(\pi-x) = -f(x)\)
  • changement de variable \( u = sinx\)
  • on fait apparaitre au numérateur \( cosx.dx\)
  • on fait disparaitre les \(cosx\) en les transformant en \(sinx\)

\(\begin{align*}I & = \int \frac{cos^4x}{sin^5x}cosx.dx \\ 
& = \int \frac{cos²x)²}{sin^5x}.cosx.dx \\ 
& = \int \frac{(1-sin²x)²}{sin^5x}cosx.dx \end{align*}\)

On pose \(\begin{align*} \begin{cases} u= sinx \\ du = cosx.dx \end{cases} \end{align*}\)

\(\begin{align*} I & = \int \frac{(1-u²)²}{u^5}du \\
& = \int \frac{1-2u²+u^4}{u^5}du \\
& = \int u^{-5}du -2\int u^{-3}du + \int u^{-1}du \\
& = -\frac{1}{4}u^{-4}-2\frac{-1}{2}u^{-2}+ ln \lvert u \rvert + C \\
& = -\frac{1}{4}u^{-4}+u^{-2}+ ln \lvert u \rvert + C
\end{align*}\)

\[\boxed{I= -\frac{1}{4sin^4x}+\frac{1}{sin²x}+ ln \lvert sinx \rvert + C \in \mathbb R}\]