Exercice 18

\(\begin{align*} \int \frac{3}{x²+4x+29}dx \end{align*}\)

Connaissances:

  • forme canonique d'un polynome de 2nd degré
  • primitive de \(\frac{1}{(x+a)²+b²}= \frac{1}{b}arctan(\frac{x-a}{b})\)

\(\begin{align*}I & = \int \frac{3}{x²+4x+29}dx \end{align*}\)

Le dénominateur n'a pas de solution dans \( \mathbb R \)
Il faut alors se ramener à une forrne \(\frac{1}{u²+a²}\)  et retrouver du \( \frac{1}{a}tan^{-1}\frac{u}{a}\) 
\(\begin{align*} I & = \int \frac{3}{x²+4x+4+25}dx \\
& =3 \int \frac{1}{(x+2)²+5²}dx
\end{align*}\)

\[\boxed{I= \frac{3}{5} tan^{-1}(\frac{x+2}{5}) + C \in \mathbb R}\]