Exercice 16

\(\begin{align*}\int x.sin²x.dx \end{align*}\)

Connaissances:

  • formule de trigonométrie: linéarisation: \(sin²x =\frac{1-cos2x}{2}\)
  • primitive de fonctions trigonométriques de base
  • Intégration par parties  

\(\begin{align*}I & = \int x.sin²x.dx \end{align*}\)

 Il est trés compliqué de primitivé du \(sin²x\) et dériver \(sin²x\) nous donnera une forme compliquée.
Commençons réduire la puissance de  \(sin²x\) 
\(\begin{align*} I & = \int x(\frac{1-cos2x}{2})dx \\
& = \frac{1}{2} \bigg( \int x.dx + \int -x.cos(2x).dx \bigg) \end{align*}\)

Le 1er terme ne pose pas de problème.
Pour le 2ème terme, non savons primitiver et dériver les 2 fonctions en présence.
Procédons par IPP

  D   I
\(+\) \(-x\)   \(cos 2x\)
    \(\searrow\)  
\(-\) \(-1\)   \(\frac{1}{2}sin2x\)
    \(\searrow\)  
\(+\) \(0\)   \(-\frac{1}{4}cos 2x\)

 

\(\begin{align*}
I & =\frac{1}{2} \bigg[ \frac{x²}{2} - \frac{x}{2} sin2x - \frac{1}{4 cos2x}\bigg]+C \\
\end{align*}\)

\[\boxed{I  =\frac{1}{4}x² - \frac{1}{4} x.sin2x - \frac{1}{8}cos2x + C(\in \mathbb R)}\]