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\(\begin{align*} I & = \int \frac{1}{x^3+1}dx \end{align*}\)
On remarque que -1 est racine de \(x^3+1\)
On peut donc factoriser par \(x+1\)
\(\begin{align*}I & = \int \frac{1}{(x+1)(x²-x+1)}dx \end{align*}\)
Et \(x²-x+1\) n'a pas de racine dans \(\mathbb R\)
On procède maintenant à une décomposition en éléments simples:
\(\begin{align*} & \frac{1}{(x+1)(x²-x+1)}= \frac{A}{(x+1)} + \frac{Bx+C}{x²-x+1} \\
& \begin{cases}
\times (x+1) \text{ et }x=-1 \Rightarrow \frac{1}{3}= A+0 & \Rightarrow \boxed{A=\frac{1}{3}} \\
\text{Ce qui donne: }\frac{1}{(x+1)(x²-x+1)}= \frac{1}{3(x+1)} + \frac{Bx+C}{x²-x+1} \\ \\
x=0 \Rightarrow 1 = \frac{1}{3} + C &\Rightarrow \boxed{C=\frac{2}{3}} \\
\text{Ce qui donne: } \frac{1}{(x+1)(x²-x+1)}= \frac{1}{3(x+1)} + \frac{Bx+2/3}{x²-x+1} \\ \\
x=1 \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{6}+\frac{B+2/3}{1} & \Rightarrow \boxed{B=-\frac{1}{3}}
\end{cases} \end{align*}\)
Nous arrivons à:
\(\begin{align*} I & = \int \bigg[\frac{1/3}{(x+1)} + \frac{-1/3x+2/3}{x²-x+1}\bigg] dx \\
& =\frac{1}{3} \int \frac{1}{x+1}dx - \frac{1}{3} \int \frac{x-2}{x²-x+1}dx \end{align*}\)
Le 1er terme ne pose pas de problème et nous amènera vers une fonction \(ln\)
Pour le 2ème terme, on reconnais une forme en \(u'/u\) au facteur prés.
On peut remarquer que \(\frac{d}{dx}(x²-x+1)=2x-1\). On va donc créer la forme \(\frac{2x-1}{x²-x+1}\) .
Donc on peut multiplier par 2 en haut et en bas pour faire apparaitre \(2x\)
\(\begin{align*} I & =\frac{1}{3} \int \frac{1}{x+1}dx - \frac{1}{6} \int \frac{2x-4}{x²-x+1}dx \\
& \text{ajouter au numérateur un } +3-3 \text{ pour aller chercher du } 2x-1\\
& =\frac{1}{3} \int \frac{1}{x+1}dx - \frac{1}{6} \int \frac{2x-4+3 -3}{x²-x+1}dx \\
& =\frac{1}{3} \int \frac{1}{x+1}dx - \frac{1}{6} \int \frac{2x-1 -3}{x²-x+1}dx \\
& =\frac{1}{3} \int \frac{1}{x+1}dx - \frac{1}{6} \int \frac{2x-1}{x²-x+1}dx+\frac{1}{6} \int \frac{3}{x²-x+1}dx \\ \\ \\
& = \frac{1}{3}I_1-\frac{1}{6}I_2+\frac{1}{2}I_3 \text{ avec }
\begin{cases}
I_1= ln \lvert x+1 \rvert +C_1\\ \\
I_2 = ln \lvert x²-x+1 \rvert +C_2\\ \\
I_3= \int \frac{1}{x²-x+1}dx \end{cases} \end{align*}\)
\( I_3\) a un dénominateur du 2nd degré sans solution dans \( \mathbb R\)
En mettant sous la forme \( \frac{1}{u²+a²}\) on retrouvera la dérivée de \( \frac{1}{a}arctan \frac{u}{a}\)
Calculons \(I_3\) en se ramenant à une dérivée de \(arctan\), en factorisant :
\(\begin{align*}I_3 & = \int \frac{1}{x²-x+1}dx = \int \frac{1}{x²-x+1/4 +3/4}dx \\
&=\int \frac{1}{(x-1/2)²+\sqrt{3/4} ²} \\
&=\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}}arctan \frac{x-\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}}+C_3 \\
&=\frac{2}{\sqrt{3}}arctan \frac{2x-1}{\sqrt{3}} +C_3 \\ & \text{Et pour finir: }
\end{align*}\)
\[\boxed{I=\frac{1}{3} ln \lvert x+1 \rvert - \frac{1}{6} ln \lvert x²-x+1 \rvert + \frac{1}{\sqrt{3}}arctan \bigg( \frac{2x-1}{\sqrt{3}} \bigg) +C(\in \mathbb R)}\]
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