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\(\begin{align*}I= \int \frac{x.sin^{-1}x}{\sqrt{1-x²}}dx \end{align*}\)
Remarques:
- la fonction proposée contient du \(x\), \(arcsinx\), et encore un radical
- un changement de variable nous ferait probablement tourner en rond
- Il faut chercher du côté des fonctions composées et de leurs dérivée
- \((\sqrt{1-x²})'= \frac{-2x}{2\sqrt{1-x²}}=-\frac{x}{\sqrt{1-x²}}\)
- on sait donc primitivé \( \frac{x}{\sqrt{1-x²}} \)
- \((arcsinx)' = \frac{1}{1-x²}\), forme présente également
- on sait dérivé \(arcsin x\)
Nous avons tous les éléments pour faire facilement une intégration par parties
\(\begin{align*}I &= \int \frac{x.sin^{-1}x}{\sqrt{1-x²}}dx \\
& = -\int \frac{-x}{\sqrt{1-x²}} \times sin^{-1}x . dx \\
&\text{Posons: } \begin{cases} u' =-\frac{x}{\sqrt{1-x²}} \\ v=arcsin x \end{cases} \Rightarrow
\begin{cases} u =\sqrt{1-x²} \\ v'=\frac{1}{\sqrt{1-x²}} \end{cases} \\
& \text{Et en intégrant par parties, on a }: \\
I & = \int u'v = \big[u.v \big] - \int u.v' \\
& = -\int \frac{-x}{\sqrt{1-x²}} \times sin^{-1}x .dx \\
& =- \bigg[ \sqrt{1-x²} \times arcsin x \bigg]- \int \cancel{\sqrt{1-x²}} \times \frac{1}{\cancel{\sqrt{1-x²}}}.dx \\
& =- \sqrt{1-x²} . sin^{-1}x - \int dx
\end{align*} \)
\[\boxed{I=-\sqrt{1-x²}.sin^{-1}x+x +C(\in \mathbb R)}\]
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