Exercice 11

\(\begin{align*} \int \frac{sinx}{sec^{2019}x}dx \end{align*}\)

Connaissances:

  • règle de Bioche
  • changement de variable
  • primitive de fonction polynome

\(\begin{align*}
I & =\int \frac{sinx}{sec^{2019}x}dx \\
& = \int sinx.cos^{2019}x.dx \\
\end{align*}\)

On peut de toutes évidences poser le changement de variable : \(\begin{cases}u=cosx \\ du=-sinx.dx \end{cases}\)

\(\begin{align*}
I & =  \int cos^{2019}x.\times sinx.dx \\ 
& = \int u^{2019} \times (-du) \\ 
& = -\frac{u^{2020}}{2020}+C \end{align*}\) 
\[\boxed{I=-\frac{cos^{2020}x}{2020}+C(\in \mathbb R)} \]