Exercice 9

\(\begin{align*} \int\frac{1}{x+\sqrt{x}}dx \end{align*}\)

Connaissances:

  • changement de variable
  • fonction \(\sqrt{x}\)
  • fonction \(ln\)

\(\begin{align*} \\
I & =\int\frac{1}{x+\sqrt{x}}dx && \text{factorisons par }\sqrt{x}\\
& = \int\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}dx
\end{align*}\)

Procédons au changement de variable \( \)
\(\begin{cases}u=\sqrt{x}+1 \\ du = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx \\ dx = 2\sqrt{x}.du
\end{cases}\)

\(\begin{align*} \\
I & = \int\frac{1}{\cancel{\sqrt{x}}.u}.2\cancel{\sqrt{x}}.du && \text{en remplaçant par ce qui est connu} \\
& = 2.ln \lvert u \rvert +C\\
& =2. ln \lvert \sqrt{x}+1  \rvert +C  \end{align*}\)

avec \(\sqrt{x} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x}+1 \geq 0\) , on peut retirer les valeurs absolues

\[\boxed{I=2. ln  \sqrt{x}+1  + C(\in \mathbb R)}\]