Exercice 8

\(\begin{align*}\int \frac{e^x.\sqrt{e^x-1}}{e^x+3}dx \end{align*}\)

Connaissances:

  • changement de variable
  • astuce du +1-1
  • dérivée de \(arctan\)ou primitive de la forme \(\frac{1}{ax²+b²}\)

\(\begin{align*}I = \int \frac{e^x.\sqrt{e^x-1}}{e^x+3}dx \end{align*}\)

Nous n'avons guère le choix.... Procédons par un changement de variable:

  • \(u=\sqrt{e^x-1}\)
  • \(du = \frac{1}{2\sqrt{e^x-1}} \times e^x.dx \Rightarrow dx=\frac{2.\sqrt{e^x-1}.du}{e^x}= \frac{2.u.du}{e^x}\)

Procédons et nous verrons bien ou cela nous mène:

\(\begin{align*} \\
I & = \int \frac{e^x.\sqrt{e^x-1}}{e^x+3}dx \\
& = \int \frac{\cancel{e^x}.u }{e^x+3} \times \frac{ 2.u.du}{\cancel{e^x}}
\end{align*}\)

Il faut maintenant exprimer \(e^x+3\) en fonction de \(u\):

\(u=\sqrt{e^x-1} \Rightarrow u²+1=e^x \Rightarrow e^x+3=u²+4\)

\(\begin{align*} \\
I & = \int \frac{u }{e^x+3} \times  2.u.du \\
& = \int \frac{2u²}{u²+4}du = 2 \int \frac{u²}{u²+4}du && \text{astuce du }-1 + 1  \\
& = 2 \int \frac{(u²+4)-4}{u²+4}du = 2 \int du + 2 \int \frac{-4}{u²+4}du && \text{on va chercher de l'arctan} \\
& = 2 \int du - 8 \int \frac{1}{u²+2²}du \\
& = 2u-8\times \frac{1}{2}arctan\frac{u}{2} \text{avec }u=\sqrt{e^x-1}
\end{align*}\)

\[\boxed{I= 2\sqrt{e^x-1}-4\times arctan\frac{\sqrt{e^x-1}}{2}+ C(\in \mathbb R)}\]