Exercice 6

\(\begin{align*}\int \frac{cosx}{sin²x-5sinx-6}dx \end{align*}\)

On remarque immédiatement que :

• au numérateur , il y a du \(cosx\), dérivée de \(sinx\)
• au dénominateur , il y a un polynôme en \(sinx\) du 2ème degré

Il semble évident de passer par un changement de variable \(u =sinx\) et \(du =cosx.dx\), qui nous mènera à une fraction rationnelle, que l on résoudra avec une décomposition en éléments simples.

\(\begin{align*} 
I & =\int \frac{cosx}{sin²x-5sinx-6}dx \\
& = \int \frac{1}{u²-5u-6}du && \text{polynome du 2nd degre ayant pour racines }-1 \text{ et } 6 \\
& = \int \frac{1}{(u+1)(u-6)}du \end{align*}\)

Procédons maintenant à une décomposition en éléments simples:

\(\begin{align*} \frac{1}{(u+1)(u-6)} = \frac{A}{u+1}+  \frac{B}{u-6} \end{align*}\)
\(\begin{align*} \begin{cases}
&  \times (u+1) \text{  et } u=-1 \Rightarrow \frac{1}{-7}= A & \Rightarrow \boxed{A=-\frac{1}{7}} \\
& \times (u-6) \text{  et } u=6 \Rightarrow \frac{1}{7}= B & \Rightarrow \boxed{B=\frac{1}{7}} \\
\end{cases}
\end{align*}\)

\(\begin{align*}
I & =  \int -\frac{1}{7} \frac{1}{u+1}du + \int \frac{1}{7} \frac{1}{u-6}du \\
& = \frac{1}{7}ln \lvert u-6 \rvert - \frac{1}{7}ln \lvert u+1\rvert +C \\
& = \frac{1}{7}ln \lvert \frac{u-6}{u+1}\rvert+C
\end{align*}\)

\[\boxed{\frac{1}{7}ln \lvert \frac{sinx-6}{sinx+1}\rvert+C(\in \mathbb R)}\]