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\(\begin{align*}
I & = \int(x+e^x)²dx & \text{développons}\\
& = \int(x²+2xe^x+e^{2x})dx \\
& = \int x².dx+\int2.x.e^x.dx+\int e^{2x}dx \\
& = I_1 + I_2 + I_3\end{align*}\)
On sait calculer:
- l 'intégrale d'un polynôme \(\begin{align*} I_1 = \int x²dx = \frac{1}{3}x^3 + C_1\end{align*}\)
- l'intégrale d'une exponentielle \(\begin{align*} I_3 = \int e^{2x}dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C_3\end{align*}\)
- et pour finir: \(\begin{align*} I_2 = \int 2.x.e^xdx \end{align*}\) est formé de 2 fonctions simplement primitivables ou dérivables
- \(\Rightarrow\) par IPP \(I_2 = 2xe^x - 2e^x +C_2\)
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D |
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I |
| \(+\) |
\(2x\)
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\(e^x\) |
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\(\searrow\) |
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| \(-\) |
\(2\) |
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\(e^x\) |
| |
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\(\searrow\) |
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| \(+\) |
\(0\) |
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\(e^x\) |
\[\boxed{I=\frac{1}{3}x^3+2xe^x - 2e^x+\frac{1}{2}e^{2x}+C(\in \mathbb R)}\]
Remarque: on pourrait encore factoriser une partie par \(e^x\)
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