Exercice 3

\(\begin{align*}\int \frac{x²+1}{x^4-x²+1}dx \end{align*}\)

Connaissances:

  • faire apparaitre un carré parfait (forme canonique d'un polynome du 2nd degré)
  • repérer une forme en \(u'/u\) et repérer une dérivée de fonction composée
  • changement de variable
  • dérivées et primitives de fonctions trigonométriques (\(arctan\))

 

\(\begin{align*}I=\int \frac{x²+1}{x^4-x²+1}dx \end{align*}\)

Remarques:

  • L'expression au numérateur et au dénominateur ne peuvent être factorisées
  • un changement de variable \(u=x²\) ne mènera nulle part avec l apparition de \(du = 2x.dx\)
  • L'expression du dénominateur est presque un carré parfait
  • on peut factoriser haut et bas par \(x²\)

\(\begin{align*} \\
I & =\int \frac{x²+1}{x^4-x²+1}dx && \text{divisons haut et bas par }x² \\
& = \int \frac{1+\frac{1}{x²}}{x²-1+\frac{1}{x²}}dx && \text{on fait apparaitre le carré parfait} \\
& = \int \frac{1+\frac{1}{x²}}{x²-2+\frac{1}{x²}+1}dx \\
& = \int \frac{1+\frac{1}{x²}}{(x-\frac{1}{x})²+1}dx && \text{on remarque que }(x-\frac{1}{x})'=1+\frac{1}{x²}
\end{align*}\)

Alors posons:

  • \(u=x-\frac{1}{x}\) alors
  • \(du=1+\frac{1}{x²}dx\)

Et procédons au changement de variable:

\(\begin{align*} \\
I & = \int \frac{1+\frac{1}{x²}}{(x-\frac{1}{x})²+1}dx \\
& = \int \frac{du}{u²+1} && \text{on remarque la dérivée de arctan.... } \\
& = arctan (u) + C
\end{align*}\)

\[\boxed{I=arctan(x-\frac{1}{x})+C(\in \mathbb R)}\]