Exercice 1

\(\begin{align*} I=\int \frac{tan^5x}{cos^3x}dx \end{align*}\)

\(\begin{align*} I=\int \frac{tan^5x}{cos^3x}dx \end{align*}\)

Nous sommes ici en présence d'une fraction rationnelle de fonctions trigonométriques. Il faut alors essayer les méthodes de Bioche. Et si aucune ne fonctionne, il faudra passer par une substitution de Weierstrass. Puis suivra probablement une décomposition en éléments simples.

Commençons par les règles de Bioche :

•  \(\begin{align*}f(-x)=\frac{tan^5(-x)}{cos^3(-x)}=\frac{-tan^5x}{cos^3 x}=-f(x) \end{align*}\) ce qui nous amène à:
  • un changement de variable \(u=cosx\)
  • donc on fait apparaitre  \(du=-sinx.dx \)
  • on fait disparaitre les \(sinx\) avec les identités trigonométriques
  • on procède au changement de variable 
• \(f(\pi-x)=\frac{tan^5(\pi-x)}{cos^3(\pi-x)}=\frac{-tan^5x}{cos^3 x}=+f(x)\)
  • rien à attendre de ce côté là
• \(f(\pi+x)=\frac{tan^5(\pi+x)}{cos^3(\pi+ x)}=\frac{tan^5x}{-cos^3 x}=-f(x)\)
  • rien à attendre ici non plus

\(\begin{align*} \\
I  & =  \int \frac{tan^5x}{cos^3x}dx \\
 & =\int \frac{tan^4x}{cos^3x} \times \frac{sinx}{cosx}dx && \text{on fait apparaître  }sinx \text{ en cassant 1 } tan x \\
 & =-\int \frac{tan^4x}{cos^4x}\times(-sinx dx) && \text{on fait apparaitre un }-sinx \times dx \\
 & =-\int \frac{sin^4x}{cos^4x} \times\frac{1}{cos^4x}\times(-sinx dx) && \text{on remplace }tanx \text{ par } \frac{sinx}{cosx} \\
 & =-\int \frac{(sin²x)²}{cos^8x} \times(-sinx dx) \\
 & =-\int \frac{(1-cos²x)²}{cos^8x} \times(-sinx dx)&& \text{on utilise l identité remarquable pour remplacer }sinx \text{ par } cosx\\
 & =-\int \frac{(1-u²)²}{u^8} du && \text{on procède au changement de variable}\\
 & =-\int \frac{(1-2u²+u^4)}{u^8} du && \text{on développe }\\
 & =\int(-\frac{1}{u^8}+\frac{2}{u^6}-\frac{1}{u^4})du && \text{il reste a intégrer des fonctions polynômiales} \\
 & =\frac{1}{7u^7}-\frac{2}{5u^5}+\frac{1}{3u^3}+C && \text{et à remplacer }u \text{ par }cosx\\
\end{align*}\)
\[\boxed{I=\frac{1}{7cos^7 x}-\frac{2}{5cos^5 x}+\frac{1}{3cos^3 x}+C (\in \mathbb{R})}\]

Dans la méthode anglo-saxonne, on utilise les notations et connaissances suivantes:

• \(secx=\frac{1}{cosx}\)
• \(1+tan²x=sec²x\)
• \((sec²x)'=tanx \times secx\) 

On comprend rapidement que:

•  il faut arriver à dégager une expression contenant \(tanx \times secx\)
• remplacer \(tan²x\) par une expression contenant \(sec²x - 1\)
• faire le changement de variable \(u=secx\)

\(\begin{align*} \\
I  & =  \int \frac{tan^5x}{cos^3x}dx \\ 
& =\int tan^5x \times sec^3x dx && \text{on met sous la forme anglo-saxonne}\\ 
& =\int tan^4x \times sec^2x \times (tanx \times secx) dx &&\text{on fait apparaitre }tanx \times secx\\ 
& = \int (tan²x)²sec²x \times (tanx \times secx) dx && \text{on prépare le remplacement de } tan²x\\ 
& =\int (sec²x-1)²sec²x \times (tanx secx)dx && \text{on remplace: }tan²x=sec²x-1 \\
& = \int(u²-1)²u²du && \text{on procède au changement de variable}\\
& = \int (u^6-2u^4+u²)du && \text{il reste à intégrer une forme polynômiale}\\
& = \frac{u^7}{7} -\frac{2u^5}{5}+\frac{u^3}{3} && \text{et a remplacer: }u=secx\\
& =\frac{1}{7}sec^7x-\frac{2}{5}sec^5x + \frac{1}{3}sec^3x \\
\end{align*}\)
\[\boxed{I=\frac{1}{7cos^7x}-\frac{2}{5cos^5x} + \frac{1}{3cos^3x}+C (\in \mathbb{R})}\]