\(\begin{align*} \int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx \end{align*}\) |
Connaissances:
- Multiplication par le conjugué du dénominateur
- Trigonométrie: dérivée de \(sin^{-1}x= \frac{1}{\sqrt{1-x²}}\)
- Exercice 12
Multiplions par le conjugué du dénominateur \(1-x\):
\(\begin{align*}I & = \int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx = \int \sqrt{\frac{(1-x)(1-x)}{(1+x)(1-x)}}dx \\
& = \int \sqrt{\frac{(1-x)²}{1-x²}}dx = \int \frac{1-x}{\sqrt{1-x²}}dx \\
& = \int \frac{1}{\sqrt{1-x²}} - \int \frac{x}{\sqrt{1-x²}}dx \\
& = sin^{-1}x + \sqrt{1-x²} +C \end{align*}\)
\[\boxed {\begin{align*} I = sin^{-1}x + \sqrt{1-x²} +C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]
Pour se convaincre; on essaiera de dériver \( \sqrt{1-x²} \) et on trouvera : \(\frac{x}{\sqrt{1-x²}}\)