\(\begin{align*} \int \frac{1}{x(1+sin²(ln(x))}dx \end{align*}\) |
Connaissances:
- Changement de variable
- Trigonométrie
- Trigonométrie notation anglosaxonne
Procédons à un changement de variable:
\(\begin{align*}u = lnx \Rightarrow du =\frac{dx}{x} \Rightarrow dx=x.du \end{align*}\)
\(\begin{align*} I & = \int \frac{1}{x(1+sin²(ln(x))}dx \\
& = \int \frac{1}{x(1+sin²(u))}x.du \\
& = \int \frac{1}{(1+sin²(u))}du \\ \\ \end{align*}\)
Il me manque du \(cos\) ou \(cos²\) pour faire un nouveau changement de variable. Faisons le apparaitre du \(cos²\):
\(\begin{align*} I & = \int \frac{1}{(1+sin²(u))}du = \int \frac{\frac{1}{cos²u}}{(\frac{1+sin²(u)}{cos²u})}du \\
& = \int \frac{\frac{1}{cos²u}}{(\frac{1}{cos²(u)} +tan²u)}du = \int \frac{sec²u}{sec²u+tan²u}du \\
& = \int \frac{sec²u}{1+tan²u+tan²u}du = \int \frac{sec²u}{1+2tan²u}du \\
\end{align*}\)
Faisons un nouveau changement de variable: \(w=tanu \Rightarrow dw = sec²u.du\)
\(\begin{align*} I & = \int \frac{sec²u}{1+2tan²u}du = \int \frac{1}{1+2w²}dw\\
\end{align*}\)
Ce résultat ressemble beaucoup à \(tan^{-1}\)
\(\begin{align*} I & = \int \frac{1}{1+2w²}dw = \int \frac{1}{(\sqrt2 w)²+1}dw \\
\end{align*}\)
Procédons à un nouveau changement de variable:
\(t = \sqrt2 w \Rightarrow dt = \sqrt2 dw \Rightarrow dw = dt/\sqrt2\)
\(\begin{align*} I & = \int \frac{1}{(\sqrt2 w)²+1}dw = \int \frac{1}{t²+1}\frac{dt}{\sqrt2} \\
& = \frac{1}{\sqrt2}tan^{-1}t +C = \frac{1}{\sqrt2}tan^{-1}(\sqrt2 w)+C \\
& = \frac{1}{\sqrt2}tan^{-1}(\sqrt2. tanu)+C = \frac{1}{\sqrt2}tan^{-1}(\sqrt2. tan(lnx))+C
\end{align*}\)
\[\boxed {\begin{align*} I = \frac{1}{\sqrt2}tan^{-1}(\sqrt2. tan(lnx))+C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]