\(\begin{align*} \int_{\frac{1}{e}}^e \frac{\sqrt{1-(lnx)²}}{x}dx \end{align*}\) |
Connaissances:
- Changement de variable
\(\begin{align*} I & =\int_{\frac{1}{e}}^e \frac{\sqrt{1-(lnx)²}}{x}dx\\ \end{align*}\)
Procédons au changement de variable:
\(\begin{align*} \begin{cases} u = lnx \Rightarrow du = \frac{dx}{x} \Rightarrow dx= x.du \\ x=\frac{1}{e} \Rightarrow u =ln(\frac{1}{e})=-1 \\ x=e \Rightarrow u = 1 \end{cases} \end{align*}\)
\(\begin{align*} I & =\int_{x= \frac{1}{e}}^{x=e} \frac{\sqrt{1-(lnx)²}}{x}dx\\
& = \int_{u=1}^{u=-1} \frac{\sqrt{1-u²}}{x}x.du\\
& = \int_{u=1}^{u=-1} \sqrt{1-u²}.du\\ \end{align*}\)
Ceci est l'aire d'un demi-cercle de \(-1\) à \(1\) (dessin??), donc un demicercle de rayon 1.
Le rayon d'un cercle est \(\pi \times r²\) avec \(r=1\) et diviser par \(2\) pour le demi-cercle, et donc \(I = \frac{\pi}{2}\)
\[\boxed {\begin{align*} I = \frac{\pi}{2} \end{align*}}\]