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\( \begin{align*} I & = \int \sqrt{x²+4x}.dx \end{align*}\)
Essayons de retrouver un carré parfait:
\( \begin{align*} I & = \int \sqrt{x²+4x}.dx \\
& = \int \sqrt{x²+4x+4-4}.dx \\
& = \int \sqrt{(x+2)²-2²}.dx
\end{align*}\)
Posons : \(x+2 = 2sec\theta \Rightarrow dx = 2.sec\theta.tan\theta.d\theta\)
\(\begin{align*}I & = \int \sqrt{(2sec\theta)²-2²} \times 2.sec\theta.tan\theta.d\theta \\
& =\int \sqrt{4sec²\theta-4} \times2.sec\theta.tan\theta.d\theta\\
& =\int \sqrt{4(sec²\theta-1)} \times2.sec\theta.tan\theta.d\theta\\
& = \int \sqrt{4tan²\theta} \times 2.sec\theta.tan\theta.d\theta\\
& = \int 2.tan\theta.\times 2.sec\theta.tan\theta.d\theta\\
& = 4 \int tan²\theta.\times sec\theta.d\theta\\
& = 4 \int (sec²\theta - 1).\times sec\theta.d\theta\\
& = 4 \int (sec^3\theta -sec\theta) . d\theta\\
&\text{déjà vu dans un exercice précédent: Exercices 24 et Chapitre "A savoir" } \\
I & = 4 \bigg[ \big(\frac{1}{2}sec\theta.tan\theta + \frac{1}{2}ln\lvert sec\theta+tan\theta\rvert \big) -ln \lvert sec\theta+tan\theta\rvert \bigg] \\
& = 4 \big(\frac{1}{2}sec\theta.tan\theta - \frac{1}{2}ln\lvert sec\theta+tan\theta\rvert \big) + C_1\\
& \text{avec: }sec\theta = \frac{x+2}{2} \text{ et } tan \theta = \frac{\sqrt{x²+4x}}{2} \text{ : faire un dessin.}\\
I &= 4 \big(\frac{1}{2}\frac{x+2}{2}.\frac{\sqrt{x²+4x}}{2} - \frac{1}{2}ln\lvert \frac{x+2}{2}+\frac{\sqrt{x²+4x}}{2}\rvert \big) + C_1\\
& = \frac{(x+2)}{2}\sqrt{x²+4x} - 2ln \lvert x+2+\sqrt{x²+4x}\rvert \big) + C2\\
\end{align*}\)
\[\boxed {\begin{align*} I =\frac{(x+2)}{2}\sqrt{x²+4x} - 2ln \lvert x+2+\sqrt{x²+4x}\rvert \big) + C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]
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