Exercice 60

\(\begin{align*} \int_{-1}^1 \sqrt{4-x²}.dx \end{align*}\)

\( \begin{align*} I & = \int_{-1}^1 \sqrt{4-x²}.dx \end{align*}\)

Remarque: l'intégrande est une fonction paire:

\(\begin{align*}I & = \int_{-1}^1 \sqrt{4-x²}.dx \\
& = 2 \int_0^1 \sqrt{4-x²}.dx \\ 
\end{align*}\)

Résolution par raisonnement géométrique (faire le dessin):

• \(y = \sqrt{4-x²}\) est l 'equation d'un cercle centré en \(O\) et de rayon \(r=2\)
• L'intégration entre \(-2\) et \(2\) est facile: c 'est le demi disque de rayon \(2\)
• Ici on intègre entre \(-1\) et \(1\)  
• on se retrouve avec
  • un triangle de base \(1\) et de hauteur \(\sqrt{4-1²}= \sqrt 3\), donc de surface \(\sqrt 3 / 2 \)
    c 'est donc un triangle avec des angles 90°, 60°, 30°
  • une part de pizza de rayon \(2\) et d 'angle  30° = \(\pi / 6\)
    dont la surface est \(1/2 \times r² \theta = 1/2 \times 2² \times \pi/6\)

On en déduit la surface totale :

\(\begin{align*}I & = 2 \times \text{(surface du triangle + surface de la part de pizza)}  \\
& = 2 \times ( \sqrt3 /2 + 1/2 \times 2² \times \pi/6) \\
& = \sqrt 3 + 2\pi/3 \end{align*}\) 

\[\boxed {\begin{align*} I =\sqrt 3 + 2\pi/3 \end{align*}}\]