Exercice 58

\(\begin{align*} \int \frac{1-cosx}{1+cosx}.dx \end{align*}\)

\( \begin{align*} I & = \int \frac{1-cosx}{1+cosx}.dx \end{align*}\)

On pourrait multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur , cela fonctionnerait. Je vous propose ici une méthode plus rapide:
Remarques:

• \(cos²x = \frac{1}{2}(1+cos(2x))\)
• \(sin²x=\frac{1}{2}(1-cos(2x))\)

\( \begin{align*} I & = \int \frac{1-cosx}{1+cosx}.dx \\
& = \int \frac{2sin² \frac{x}{2}}{2cos²\frac{x}{2}}.dx \\
& = \int tan²\frac{x}{2}.dx \\
& = \int \big[ sec²\frac{x}{2}-1 \big]dx \\
& = 2tan\frac{x}{2} - x + C
\end{align*}\)

\[\boxed {\begin{align*} I =2tan\frac{x}{2} - x + C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]