Exercice 45

\( \begin{align*}  \int ln(x+\sqrt{1+x²})dx \end{align*}\)

Connaissances:

  • trigonométrie hyperbolique

\( \begin{align*}I & = \int ln(x+\sqrt{1+x²})dx \\
& = \int sinh^{-1}x.dx \text{             ( voir exercice 44)} \end{align*} \)

On peut procéder à une IPP:

  D   I
+ \(sinh^{-1}x\)   \(1\)
    \(\searrow\)  
- \(\frac{1}{\sqrt{1+x²}}\) \(\rightarrow\) \(x\)

\( \begin{align*}I & = x.sinh^{-1}x - \int \frac{x}{\sqrt{1+x²}}dx\\
& =  x.sinh^{-1}x - \sqrt{1+x²} +C\end{align*}\)

On peut vérifier en dérivant \( \sqrt{1+x²}\), ce qui donne: \(\frac{x}{\sqrt{1+x²}}\)

 

\[\boxed{\begin{align*} I =x.sinh^{-1}x - \sqrt{1+x²} +C(\in \mathbb R)  \end{align*}} \]