Exercice 44

\( \begin{align*}  \int \frac{1}{\sqrt{x²+1}}.dx \end{align*}\)

Remarques:

• \(\bigg(sin^{-1}x \bigg)'=\frac{1}{\sqrt{1-x²}}\)
• \(\bigg(sinh^{-1}x \bigg)'=\frac{1}{\sqrt{1+x²}}\)

\( \begin{align*} I & = \int \frac{1}{\sqrt{x²+1}}.dx \\
& =sinh^{-1}x+C \end{align*}\)

\[\boxed{\begin{align*} I=sinh^{-1}x+C(\in \mathbb R) \end{align*} }\]

On aurait aussi pu faire un changement de variable:
\( x = tan\theta \Rightarrow dx = \frac{1}{cos²\theta} d\theta = 1 + tan²\theta  d\theta\)

Dans ce cas , on trouverait \(I = ln(x+\sqrt{1+x²})\)
On retrouvera cette forme dans l'exercice 45........