Exercice 53

\( \begin{align*}\int ln(1+x²).dx \end{align*}\)

\( \begin{align*} I & = \int ln(1+x²).dx \end{align*}\)

Nous sommes dans le cas d'une fonction \(ln\) dont la primitive donnerait encore du \(ln\)

Le mieux est de faire une intégration parties qui nous permettrait en dérivant du \(ln\) de faire disparaitre le \(ln\). Puis ensuite, éventuellement, on se retrouverait avec une fraction rationnelle.

\( \begin{align*} I & = \int ln(1+x²).dx  \\
& = \int 1 \times ln(1+x²).dx  \\ \end{align*}\)

\( \begin{align*} I & = x.ln(1+x²) -  \int \frac{2x²}{1+x²} \\
& = x.ln(1+x²) -  2\int  \frac{x²+1-1}{1+x²}dx \\
& = x.ln(1+x²) -  2\int  \bigg[ \frac{x²+1}{1+x²} -\frac{1}{1+x²} \bigg]dx \\
& = x.ln(1+x²) -  2\int \bigg[ 1 -\frac{1}{1+x²} \bigg] dx \\
& = x.ln(1+x²) -  2\int  1.dx +2 \int \frac{1}{1+x²}dx \\
& = x.ln(1+x²) -  2x +2tan^{-1}x +C \end{align*}\)

\[\boxed { \begin{align*} I = x.ln(1+x²) -  2x +2tan^{-1}x +C (\in \mathbb R) \end{align*}}\]