Exercice 52

\(\begin{align*} I & =\int \frac{1}{(5x-2)^4}dx \end{align*}\)

On remarque au numérateur un fonction constante (degré 0) et un polynome de degré 1 au dénominateur.

Faisons le changement de variable : \(\begin{align*} \begin{cases}  u = 5x-2 \\ du=5dx \Rightarrow dx = \frac{du}{5} \end{cases} \end{align*}\)

\(\begin{align*} I & =\int \frac{1}{(5x-2)^4}dx  \\
& = \int \frac{du}{5} \frac{1}{u^4}du \\
& = \frac{1}{5} \int u^{-4}du \\
& = \frac{1}{5} \frac{1}{-3}u^{-3} +C\\
& = -\frac{1}{15(5x-2)^{3}} +C
\end{align*}\)

\[ \boxed{\begin{align*} I & = -\frac{1}{15(5x-2)^{3}} +C (\in \mathbb R)\end{align*}}\]