Exercice 51

\(\begin{align*} \int sec^6x.dx \end{align*} \)

\( \begin{align*} I & = \int sec^6x.dx \\
& =\int \frac{1}{cos^6x}dx \end{align*}\)
Nous sommes ici en présence d'une fraction rationnelle de fonctions trigonométrique. Il faut alors appliquer les règles de Bioche ou une substitution de Weierstrass: posons \(f(x)=\frac{1}{cos^6x}\)

\( \begin{align*} \begin{cases} f(-(x) \neq -f(x) \\
f(\pi-x) \neq -f(x) \\ f(\pi+x) = f(x) \Rightarrow t=tanx \end{cases} \end{align*}\)

Il convient de faire :

• un changement de variable en \(t=tanx\)
• 1 \(cos²x\) disparaitra avec le dt
• transformer les autres  \(cos²x\) par une expression avec \(tanx\)
• de remplacer les \(tanx\) par \(t\)
• de calculer les primitives
• de revenir à la variable \(x\)

Posons: \(\begin{align*}   & \begin{cases} t =tanx \\ dt = \frac{1}{cos²x}dx \end{cases} \end{align*}\)

\( \begin{align*} I & =\int \frac{1}{cos^6x}dx \\
& = \int \frac{1}{cos^4x} \frac{1}{cos²x}dx \\
& = \int (\frac{1}{cos²x})² \frac{1}{cos²x}dx \\
& = \int (1+tan²x)² \frac{1}{cos²x}dx \\
& = \int (1+2tan²x+tan^4x) \frac{1}{cos²x}dx \\
& = \int (1+2t²+t^4) dt \\
& =  t+\frac{2}{3}t^3+\frac{1}{5}t^5 +C \\
& =  tan x +\frac{2}{3}tan^3x+\frac{1}{5}tan^5x + C  \end{align*}\)

\[ \begin{align*} \boxed{  I  =  tan x +\frac{2}{3}tan^3x+\frac{1}{5}tan^5x + C(\in \mathbb R) } \end{align*}\]

\( \begin{align*} I & = \int sec^6x.dx \\ 
& = \int sec^4x.sec²x.dx \\
& = \int (sec²x)²sec²x.dx \\
& = \int (1+tan²x)²sec²x.dx \\
\end{align*}\)

En posant \(t=tanx \Rightarrow dt=sec²x.dx\) il vient:

\( \begin{align*} I & = \int (1+tan²x)²sec²x.dx \\
& = \int (1+t²)².dt \\
& = \int (1+2t²+t^4)dt \\
& =  t+\frac{2}{3}t^3+\frac{1}{5}t^5 +C \\
& =  tan x +\frac{2}{3}tan^3x+\frac{1}{5}tan^5x + C  \end{align*}\)

\[ \begin{align*} \boxed{  I  =  tan x +\frac{2}{3}tan^3x+\frac{1}{5}tan^5x + C(\in \mathbb R) } \end{align*}\]