Exercice 38

\(\begin{align*}\int x² \sqrt[3]{1+x^3}dx \end{align*}\)

Connaissances:

  • changement de variable
  • primitive de fonction polynome
  • calculs avec des puissance \(a/b\)

\(\begin{align*}I & = \int x² \sqrt[3]{1+x^3}dx \end{align*}\)

On remarque que \((1+x^3)'=3x²\) et on a alors le produit d'une dérivée et d'une fonction composée. Cela nous oriente vers un changement de variable:

\(\begin{align*} & \begin{cases} u=1+x^3 \\ du=3x².dx\end{cases} \\
I & = \frac{1}{3}\int 3x²dx \sqrt[3]{1+x^3} \\
& = \frac{1}{3}\int du \sqrt[3]{u} \\
&= \frac{1}{3}\int u^{\frac{1}{3}}du \\
& = \frac{1}{\cancel{3}} \times \frac{\cancel{3}}{4}u^{4/3}+C \\
& = \frac{1}{4} \sqrt[3]{(1+x^3)^4} + C \\
& = \frac{1}{4} \sqrt[3]{(1+x^3)^3(1+x^3)} + C \\
& = \frac{1}{4} (1+x^3) \sqrt[3]{1+x^3} + C \\
 \end{align*}\)

\[ \boxed{ \begin{align*} I & = \frac{1}{4} (1+x^3) \sqrt[3]{1+x^3} + C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]