Exercice 37

\(\begin{align*}\int x^3sin(2x)dx \end{align*}\)

Connaissances:

  • primitive ou dérivée de fonction polynome
  • primitive ou dérivée de fonction trigonométriques
  • intégration par parties 

\(\begin{align*}I & = \int x^3sin(2x)dx \end{align*}\)

Nous avons ici le produit de 2 fonctions facilement dérivables ou primitivables, ce qui nous conduit à essayer une intégration par parties. Etant donné le degré du polynome, il nous faudra plusieurs intégrations successives:

  D   I
\(+\) \(x^3\)   \(sin(2x)\)
    \(\searrow\)  
\(-\) \(3x²\)   \(-1/2cos(2x)\)
    \(\searrow\)  
\(+\) \(6x\)   \(-1/4sin(2x)\)
    \(\searrow\)  
\(-\) \(6\)   \(1/8cos(2x)\)
    \(\searrow\)  
\(+\) \(0\) \(\rightarrow\) \(1/16sin(2x)\)

 

\(\begin{align*}I & = \int x^3sin(2x)dx \\
& = -\frac{1}{2}x^3cos(2x) +\frac{1}{4}3x²sin(2x)+\frac{1}{8}.6.x.cos(2x)-\frac{1}{16}.6.sin(2x) +C \\
& = -\frac{1}{2}x^3cos(2x)+\frac{3}{4}x²sin(2x)+\frac{3}{4}x.cos(2x)-\frac{3}{8}sin(2x) +C
\end{align*}\)

\[\boxed{\begin{align*}I & = -\frac{1}{2}x^3cos(2x)+\frac{3}{4}x²sin(2x)+\frac{3}{4}x.cos(2x)-\frac{3}{8}sin(2x) +C(\in \mathbb R) \end{align*}}\]