Exercice 32

\(\begin{align*}\int \frac{1}{\sqrt{x-x²}}dx\end{align*}\)

\(\begin{align*} I & = \int \frac{1}{\sqrt{x-x²}}dx\end{align*}\)

Commençons par factoriser , puis nous verrons peut être apparaître une fonction qui nous permettra de faire un changement de variable.

\(\begin{align*} I & = \int \frac{1}{\sqrt{x-x²}}dx \\
& = \int \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{1-x}}dx \\ \end{align*}\)

Posons \(u \sqrt{x}\)

\(\begin{align*} &  \begin{cases} u = \sqrt x \\ du =\frac{1}{2 \sqrt x}dx\end{cases} \Rightarrow
  \begin{cases} u = \sqrt x \\ dx= 2u.du \end{cases} \\ \\
 I & = \int \frac{1}{\sqrt{x} \times \sqrt{1-(\sqrt x})²}dx \\
& = \int \frac{1}{\cancel{u}  \sqrt{1-u²}}\times 2.\cancel{u}.du \\
& = 2 \int \frac{1}{\sqrt{1-u²}}du \\
& = 2 arcsin (u) +C \\
& = 2 arcsin (\sqrt x) + C
\end{align*}\)

\[ \boxed{\begin{align*} I = 2 \times arcsin (\sqrt x) + C (\in \mathbb R)  \end{align*}} \]

Pour mémoire on arrive à ce résultat en posant \(sin \theta = u\), puis identité trigonométrique.  En effet:

\(\begin{align*} &  \begin{cases} u=sin \theta \\ du = cos \theta d \theta \end{cases} \Rightarrow \theta = arcsin (u) = sin^{-1}u \\ 
\int \frac{1}{\sqrt{1-u²}}du  & = \int \frac{1}{\sqrt{1-sin²\theta}} \times cos \theta.d \theta \\ 
& =  \int \frac{1}{\sqrt{cos²\theta}} \times cos \theta.d \theta \\  
& =  \int \frac{1}{cos \theta} \times cos \theta.d \theta \\
& =  \int d \theta = \theta \\ 
& = sin^{-1}u +C \end{align*}\)